4. Минор матрицы. Ранг матрицы. Свойства ранга матрицы.

Опр.8 Минор-определитель,полученный путём вычёркивания строки и столбца,на пересечении которых стоит элемент

Опр.9 Ранг матрицы-наибольший порядок миноров отличных от нуля

Опр.10 Минор,порядок которого определяет ранг матрицы,называется базисным.У матрицы может быть несколько базисных миноров

Свойства ранга матрицы

1)При транспонировании матрицы её ранг не меняется

2)Если вычеркнуть из матрицы нулевой столбец или нулевую строку,то её ранг не изменится

3)Ранг матрицы не изменится при элементарном преобразовании матрицы

5. Системы линейных алгебраических уравнений. Решение систем матричным методом.

Опр.11 Системой линейных уравнений содержащих n-уравнений и m-неизвестных называется система вида:

Опр.12 Расширенной матрицей называется матрица дополненная столбцом свободных членов

Опр.13 Система называется совместной если она имеет хоть одно решение и не совместной если она не имеет решений

Опр.14 Совместная система называется определённой если она имеет единственное решение и неопределённой если она имеет более 1-го решения

Решить систему-выяснить совместна она или нет,и если совместна то найти её решение

6. Решение невырожденных линейных систем. Формулы Крамера.

Опр.15 Если определитель системы отличен от нуля,то система называется невырожденной

Решение систем по формулам Крамера

Х= *В

Сначала находим определитель= системы,без столбца свободных членов

Далее находим путём подстановки столбца свободных членов,вместо первого столбца

Далее находим путём подстановки столбца свободных членов,вместо второго столбца и делаем это столько раз,сколько столбцов в матрице,далее мы получаем:

=

=

=

Эти формулы называются формулами Крамера

7. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении элементов

Процесс решения по методу Гаусса состоит из 2-х этапов:

1)(Прямой ход)Система приводится к ступенчатому виду,в том числе к треугольному,приведённая система имеет ступенчатый вид

2)(Обратный ход)Идёт последовательное определение неизвестных из этой ступенчатой системы

Далее решаем систему

8. Исследование систем линейных алгебраических уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Исследование системы:

1)Совместна система или нет

2)Если совместна то сколько решений она имеет

3)Как найти решение системы

Теорема Кронекера-Капелли

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда,когда ранг расширенной матрицы равен рангу основной матрицы

Теорема

Если ранг совместной системы равен числу неизвестных,то система имеет единственное решение

Теорема

Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных,то система имеет бесконечное множество решений

9. Однородные системы линейных уравнений, условия существования ненулевого решения.

Однородная система всегда совместна потому что всегда имеет нулевое тривиальное решение

Теорема

Для того чтобы система однородных уравнений имела нулевое решение необходимо и достаточно,чтобы ранг её основной матрицы был меньше числа неизвестных

r<n

Теорема

Для того чтобы однородная система n-линейных уравнений с m-неизвестными имела не 0-ое решение,необходимо и достаточно,чтобы её определитель был равен 0,то есть

Если определитель равен 0,это значит,что ранг основной матрицы системы меньше числа неизвестных и значит,что система имеет бесконечное множество решений,то есть имеет и не 0-ое решение