18. Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности двух прямых на плоскости.

Следует обратить внимание на то, что в числителе дроби из углового коэффициента второй прямой вычитается угловой коэффициент первой прямой.

Если уравнения прямой заданы в общем виде

A₁x + B₁y + C₁ = 0,         

A₂x + B₂y + C₂ = 0,     

Угол между ними определяется по формуле

Условия параллельности двух прямых:

а) Если прямые заданы уравнениями (4) с угловым коэффициентом, то необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в равенстве их угловых коэффициентов:

k₁ = k₂.     (8)

б) Для случая, когда прямые заданы уравнениями в общем виде (6), необходимое и достаточное условие их параллельности состоит в том, что коэффициенты при соответствующих текущих координатах в их уравнениях пропорциональны, т. е.

Условия перпендикулярности двух прямых:

а) В случае, когда прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом, необходимое и достаточное условие их перпендикулярности заключается в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку, т. е.

Это условие может быть записано также в виде

k₁k₂ = -1.     

б) Если уравнения прямых заданы в общем виде, то условие их перпендикулярности (необходимое и достаточное) заключается в выполнении равенства

A₁A₂ + B₁B₂ = 0

19. Расстояние от точки до прямой на плоскости

Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Если задано уравнение прямой Ax+ By+ C = 0, то расстояние от точки M(M_x, M_y) до прямой можно найти, используя следующую формулу

d=

20.Эллипс, его каноническое уравнение, исследование формы эллипса по его

уравнению. Эксцентриситет, фокальные радиус векторы, директрисы

эллипса.

Опр. Эллипсом называется множество всех точек плоскости сумма расстояний от каждой из которых до 2-х данных точек этой плоскости,называемых фокусами,есть qonst

Обозначим фокусы ,расстояния между ними 2с ,и сумма расстояний от произвольной точки до фокусов через 2а

По определению 2а>2с значит а>c

Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат ОХУ так,чтобы фокусы лежали на ОХ,а начало координат совпадало с серединой отрезка ,тогда фокусы будут иметь координаты

Каноническое уравнение эллипса:

Исследование формы эллипса

1)Форма эллипса зависит от отношения , при b=a эллипс превращается в окружность и уравнение эллипса принимает вид

В качестве характеристики формы эллипса используется соотношение

Опр. Соотношение половина расстояния между фокусами и большой полуосью называется эксцентриситетом

Причём 0<e<1 так как 0<c<a с учётом того,что =>формулу e= перепишем в виде

Чем меньше e,тем менее сплющен эллипс,если е=0,то эллипс это отружность

Прямые называются директриссами

Значения директрисс появляются в отдельных суждениях

Теорема

Если расстояние от произвольной точки эллипса до любого из 2-х фокусов,а d-это расстояние от этой же точки до соответствующей этому фокусу директриссы,то соотношение -qonst,равная е элипса

=e

Фокальные радиус векторы и -фокальные радиус векторы точки М