Линейные операции

1)Сложение

2)Разность

3)Умножение на число

Свойства линейных операций

1. =коммутативность

2. =ассоциативность

3. =

4. )=(

5. 1*

6. +(- )=

7. 

8. (

4. Арифметические векторы. Определение. Основные понятия. Линейные

операции над арифметическими векторами и их свойства.

Опр. Арифметическим N-компонентным вектором называется упорядоченный набор вещественных чисел

Опр. Векторы ( и ( ) называются равными если они имеют одинаковую размерность и их соответствующие координаты равны

Два арифметических вектора являются коллинеарными если их координаты пропорциональны

Если

Если

Свойства линейных операций

1. =коммутативность

2. =ассоциативность

3. =

4. )=(

5. 1*

6. +(- )=

8. (

Вывод: Для множества всех арифметических векторов выполняются все аксиомы линейного пространства,а значит данное множество линейным пространством

5. Линейная комбинация векторов.

Линейная зависимость и независимость векторов. Базис и размерность векторного пространства Теорема о единственности разложения вектора по базису.

Вектор называется линейной комбинацией векторов если вектор b= +…+ -разложение вектора по векторам -коэффициент разложения

Опр. Линейная зависимость и независимость векторов –называются линейно-зависимыми,если существует такой ненулевой набор чисел что их линейная комбинация с этими коэффициентами =

Опр. Линейная зависимость и независимость векторов –называются линейно-зависимыми,если существует такой ненулевой набор чисел что их линейная комбинация с этими коэффициентами

Опр. Базисом векторного пространства называется максимальный набор линейно независимых векторов

Теорема о единственности разложения вектора по базису

Векторы а1….аn составляют базис векторного пространства V тогда и только тогда,когда всякий вектор а этого пространства имеет единственное разложение по этому базису,т.е. он может быть представлен как линейная комбинация этих векторов

Опр. Базис е1….en называется конаническим базисом векторного пространства,а разложение вектора a по этому базису называется каноническим разложением

Опр. Размерностью векторного пространства V называется число векторов в его базисе

6. Проекция вектора на ось. Теоремы о проекциях.

Проекцией вектора АВ на ось называется положительное число модуль А1В1 если вектор А1В1 и ось сонаправлены,и отрицательное число если – (А1В1) –противоположно направлены

Свойства проекции

1)Проекция вектора а на ось е равна произведению модуля а на cos угла между вектором и осью

2)Проекция вектора на ось положительна если вектор образует с осью острый угол,отрицательна,если угол тупой и равна 0 когда угол прямой

3)Проекции равных векторов на ось равны между собой

4)Проекция суммы нескольких векторов на одну и ту же ось равна сумме их проекций на эту ось

1. Разложение вектора по ортогональному координатному базису. Координаты вектора, его длина, направляющие косинусы.

Опр. Арифметические n-мерные векторы a и b называются ортоганальными если их скалярное произведение равно 0

Опр. Базис а1…аn в пространстве R называется ортоганальным если скалярное произведение различных 2-векторов этого базиса =0

Опр. Отрогональный базис a1…an называется ортонормальным если длины всех базисных векторов = 1

Длина вектора на плоскости вычисляется по следующей формуле:

Длина вектора в трехмерном пространстве вычисляется по следующей формуле:

Чтобы вычислить координаты вектора , зная координаты (x₁; y₁) его начала A и координаты (x₂; y₂) его конца B, нужно из координат конца вычесть координаты начала: (x₂ – x₁; y₂ – y₁).