21. Непрерывность и дифференцируемость функций

Очевидно, что необходимым условием дифференцируемости функции является её непрерывность

Так как существует, то представим в виде

 (*), где  - бесконечно малая величина.

Умножая (*) на x получим y=(y₀+)x,так как (y₀+) - ограниченная величина  y - бесконечно малая величина и следовательно f(x) -непрерывна в x=x₀.

Однако непрерывность f(x) не является достаточным условием дифференцируемости, так как для двух бесконечно малых величин предел их отношения может и не существовать (в частности равен ).

Лругими словами, непрерывность функции является необходимыи, но недостаточным условием дифференцируемости функции.

Определение. Функция f(x) называется дифференцируемой в т. Х₀ , если её производная в этой точке существует.

Если производные функции f(x)существуют в каждой точке интервала (a,b), то говорят. Что функция дифференцируема на этом интервале.

Функция f(x) называется дифференцируемой на отрезке [a,b], если на концах этого отрезка существуют правосторонние и левосторонние производные.

22. Основные Правила дифференцирования

1. y=x: y=(x)=1

2. Производная от константы: (c)=0

3. Производная суммы: y=u+v  y=u+v   y=(u+v)=u+v

4. Производная произведения. y=uv  y+y=(u+u)  (v+v) 

y=(u+u)(v+v)-uv=vu+uv+uv, здесь u и v не зависят от x.

 

y=(uv)=vu+uv

5. Постоянный множитель выносится за знак производной:

y=cu, y=(c)u+cu=cu  (cu)=cu

6. Производная частного .

, 

23. Производная обратной и сложной функций.

Правило дифференцирования обратной функции.

Как известно, для монотонной на (a,b) функции y=f(x) существует однозначная обратная функция x=(y). Если f(x) дифференцируема, то при всех x, при которых f(x)0, (y) также дифференцируема, причем

или или .

Эта формула следует из того факта, что :

и того, что x и y 0 одновременно, причем x0 и y0 в силу монотонности. Поэтому

Геометрический смысл:

Обе функции прямая – y=f(x) и обратная – x=(y) имеют один и тот же график.

y_x=f(x) есть tg, где  - угол, образованный касательной с осью ОХ (касательная в точке (x,y)). y_x= tg

Аналогично: x_y= tg, где  - угол, образованный той же касательной в той же точке (x,y), но с осью ОУ. Так как +=/2 

tg=1/tg или tg=1/tg. или

Правило дифференцирования сложной функции.

Докажем, что y_x=(f((x)))=y_zz_x.

Теорема. Производная от сложной функции y по независимому аргументу x равна производной от y по промежуточному аргументу z, умноженной на его (z) производную по аргументу x.

Доказательство.  y=(y_z+)z, где  - бесконечно малая, z0, то есть .

Аналогично z=(z_x+)x, где  .

правила дифференцирования (и особенно последнее) имеют первостепенное значение, так как позволяют находить производные, образованные от любых элементарных функций, образованных при помощи алгебраических действий и наложения функциональных зависимостей. Конечно при условии, что производные основных элементарных функций уже нам известны.

24. Вывод формулы дифференциала y=xⁿ.

Теорема. Производная от y=xⁿ, где n>0 и nN, равна nx^n-1.