7. Свойства б.Б.В.

1. Сумма (разность) бесконечно больших величин может и не быть б.б.в.

2. Произведение бесконечно большой величины на величину, имеющую отличный от нуля предел есть б.б.в.                                                  

3. Произведение бесконечно большых величин есть величина бесконечно большая.

Связь бесконечно малой и бесконечно большой величины определяется теоремой: Величина, обратная бесконечно малой величине, есть величина бесконечно большая, и наоборот, величина, обратная бесконечно большой величине, есть величина бесконечно малая. Символически можно записать:       и        

8. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции.

    Сравнение бесконечно малых

Определения

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины и .

• Если , то  — бесконечно малая высшего порядка малости, чем . Обозначают .

• Если , то  — бесконечно малая низшего порядка малости, чем . Соответственно .

• Если (предел конечен и не равен 0), то и являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости.

Это обозначается как или (в силу симметричности данного отношения).

• Если , то и - эквивалентные б.м.в.

Эквивалентные величины

Если , то бесконечно малые величины и называются эквивалентными ( ).

Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.

При справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из так называемых замечательных пределов):

• 

• , где ;

• , где ;

• , , где .

9. Бесконечные числовые последовательности. Предел последовательности.

Совокупность чисел, каждому из которых присвоен порядковый номер, называется бесконечной числовой последовательностью, если для любого наперёд заданного сколь угодно большого n прин. N существует единственное число членов последовательности с номерами больше, чем n. {x_n}- числовая последовательность.

Числовая последовательность считается заданной, если указано выражение, по которому может быть вычислен любой член последовательности, если только известен его номер.

X_n=f(n) – общий член.

Если по мере возрастания номера n, знач- е членов последовательности неограниченно приближаются к некоторому a=const, то говорят, что эта последовательность имеет предел равный а.

Предел последовательности

Число А называется пределом последовательности {x_n}, если для всякого сколь угодно малого наперёд заданного ε > 0 найдётся число N(ε) такое, что для всех n >= N выполняется неравенство │а – х_n│< ε. Обозначают .

Последовательности имеющие предел называются сходящимися.

• Не всякая последовательность имеет предел.

Пр.: х_n = (-1)ⁿ

10. Предел функции.

Определение. Число А называется пределом функции y = при стремлении х к а, если для , существует такое, что как только выполняется неравенство .

Графически определение предела можно представить так:

Отметим, что зн – е х=а может входить или не входить в область определения функции f(x), причём зн – е функции f(a) может и не совпадать со значением предела А, если а входит в область определения f(a) не равное а.