60.61.Интерполяция. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Конечные разности и интерполяционная формула Ньютона
Пусть
из результатов нам известны числовые
значения
некоторой функции
соответствующие числовым значениям
Можно считать, что
задана таблично:
Довольно
часто возникает потребность в вычислении
промежуточных значений
не имеющихся в таблице. Часто решается
задача поиска аналитического вида
функции, заданной таблично. При этом
ищется такая функция, чтобы при
она принимала значения
Решение этих задач составляет раздел вычислительной математики, называемый интерполированием функций.
Интерполяция - Оценка значения неизвестной величины, находящейся между двумя точками ряда известных величин.
Интерполирующая функция Лагранжа.
Пусть
мы имеем таблично заданную функцию.
называют узлами интерполяции. И пусть
есть интерполирующий многочлен вида:
где
константы,
подлежащие определению. Для их нахождения
поочерёдно будем полагать
требуя при этом, чтобы
Мы получим
Подставляя
найденные значения
получим интерполяционную формулу
Лагранжа:
Полагая
в этой формуле
мы всегда имеем
и получим возможность оценки значений
соответствующих значениям
Найденное
выражение
позволяет выполнить и оценку производной
в некоторых точках.
Интерполяционная формула Ньютона.
Если узлы интерполяции являются равноотстоящими, т.е. образуют арифметическую прогрессию:
где
называют шагом интерполяции, то лучше
использовать более простую интерполяционную
формулу Ньютона. Эта формула построена
на т.н. конечных разностях функции
Определение. Конечной разностью первого порядка величины называют разность между двумя её последовательными табличными значениями.
Конечной разностью второго порядка называется разность между двумя последовательными разностями первого порядка
Аналогично определяются разности более высоких порядков.
Для
вывода формулы Ньютона нам потребуются
конечные разности до порядка
включительно. Поэтому составляется
таблица:
Используя эту таблицу можно найти
(*) 
В
(*)
есть
табличный номер
или число шагов, отделяющих табличное
значение
от
Т.е.
т.к.
Если
теперь вычислять нетабличное
и сохранить вид правой части (*), то
величина
будет давать нам
для любого табличного
тогда как для
мы будем получать значения
т.е.
В
развернутой форме
является многочленом степени не выше
и представляет собой интерполяционную
формулу
Ньютона.
Можно показать, что для равноотстоящих узлов формулы Лагранжа и Ньютона дают один и тот же многочлен, т.е. являются тождественными.