52.Приближенное решение уравнений. Методы хорд, итераций и

комбинированный метод уточнения корня

Метод хорд.

Пусть точный корень и Если построить хорду , то абсцисса точки пересечения этой хорды с ОХ будет более близко к , чем нулевые приближения и .

Уравнение хорды

полагая получим

из двух отрезков и выберем тот, на концах которого имеет противоположные знаки, т.е. тот, который содержит Продолжая процесс, получим последовательность при

Абсолютная погрешность го приближения оценивается по формуле

где наименьшее значение на отрезке

Метод итерации. Пусть имеет корень Разрешим относительно

(*)

Пусть и

(А) где

Геометрически эти требования значат, что график должен быть монотонно возрастающим или убывающим в промежутке и притом должен располагаться более «полого» чем биссектриса 1-го координатного угла (если возрастает) и более «полого» чем если убывает.

Приводя к виду (*) мы преобразуем тождество к виду т.е. корнем

будет абсцисса точки , пересечения графика с

Метод итераций заключается в следующем:

(*)

Теорема. Если знакопостоянна на и по абсолютной величине строго меньше 1, т.е. где то последовательность (*) при имеет своим пределом точный корень , где

Комбинированный способ уточнения корня. Суть метода заключается в одновременном применении метода хорд и метода касательных на отрезке Метод основан на том, что при выполнении условий применимости метода касательных методы хорд и касательных дают приближения по разные стороны от точного значения. Поэтому после любого шага мы получаем корень с избытком и с недостатком и эти значения могут быть использованы в качестве новых приближений или и дающих новый отрезок выделения.

54. Векторная функция скалярного аргумента и ее дифференцирование.

Годограф

Одним из наиболее простых способов задания пространственной кривой является задание векторного уравнения:

1. ,

где - радиус-вектор точки кривой, а - параметр, определяющий положение точки.

Т.о. переменный вектор есть функция скаляра . Такие функции в математическом анализе называют векторными функциями скалярного аргумента.

Разлагая по ортам, уравнению (1) можно придать вид:

2. 

Это разложение даёт возможность перейти к параметрическому уравнению кривой:

3. 

Другими словами, задание векторной функции равносильно заданию трёх скалярных.

По отношению к векторной функции (1), определяющему данную кривую, сама кривая называется годографом этой функции. Начало координат называют в этом случае полюсом годографа.

Как и для скалярных функций, дифференциал векторной функции записывается в виде

Но и тогда

55.Свойства производной от векторной функции по скалярному аргументу.

Три следствия

4. - производная

Опираясь на (4), можно показать, что справедливы следующие формулы:

(5)

(6) - скалярная функция.

7. 

8. 

Исследуем теперь некоторые свойства . Прежде всего его модуль:

Т.к. мы считаем дугу годографа спрямляемой, то тогда - есть длина хорды, а - длина дуги. Поэтому

Т.о. модуль производной от векторной функции скалярного аргумента равен производной от дуги годографа по тому же аргументу.

Следствие 1. Если - единичный вектор, направленный по касательной к годографу в сторону увеличения , то

Следствие 2. Если за аргумент векторной функции принята длина дуги годографа , то

(т.к. )

Т.о. производная от векторной функции по длине дуги годографа равна единичному вектору касательной к годографу, направленному в сторону увеличения длины дуги.

Следствие 3. Если годограф векторной функции рассматривать как траекторию движения точки, а - как время движения, отсчитываемое от некоторого , то по величине и направлению совпадает с вектором скорости движения .

В самом деле, скалярная величина скорости равна производной от пути по времени:

Кроме того, вектор направлен по касательной к траектории в сторону движения, что соответствует направлению возрастания , т.е. соответствует направлению .

Т.о. .