Исследование функций, заданных в полярных координатах , можно исследовать как и параметрические, если перевести в декартовую систему координат.
R
=r()
X=r*cos
Y=r*sin
Спираль Архимеда: =
Логарифмическая спираль |
= e |
|
49.0Бший план исследования функции и построения ее графика.
Под «исследованием функции» обычно понимается нахождение:
ОДЗ; чётности (нечётности), периодичности.
точек разрыва функции;
пересечение с осями координат
интервалов возрастания и убывания функции;
точек максимума и минимума и экстремальных значений функции;
областей выпуклости и вогнутости графика, точек перегиба;
асимптот графика функции.
На основании проведённого исследования строится график. Целесообразно помечать элементы графика параллельно с исследованием.
Замечание
1. Если
- чётная, т.е.
достаточно
исследовать
и строить её график для
ОДЗ,
т.к. график симметричен OY.
Замечание
2. Если
- нечётная, т.е.
также
достаточно провести исследование для
.
График симметричен относительно начала
координат.
Замечание
3. Т.к. одни свойства функции могут
определять другие, то порядок исследования
можно изменять, исходя из конкретного
вида исследуемой функции. Например,
если
непрерывна и дифференцируема и найдены
точки максимума и минимума, то тем самым
определены области убывания и возрастания.
50.Касательная и нормаль к плоской кривой.
уравнение
касательной к кривой
в точке
,
которая называется точкой касания,
имеет вид:
,где
Определение. Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью к кривой .
Используя
условие перпендикулярности двух прямых,
нетрудно вывести уравнение нормали:
или
.
К
асательная
и нормаль кривой, проведённые в
,
в пересечении с OX
образуют тр-ик
.
Катеты этого треугольника -
и
,
отрезки
и
,
на которые ордината
делит гипотенузу
,
часто используют в различных вопросах
геометрии и получили специальные
обозначения и названия:
- длина касательной, 
- длина нормали, 
- подкасательная, 
- поднормаль.
Все
эти отрезки легко могут быть вычислены
через
и
в точке
.
В
:
.
Поэтому:
или
Знаки
модуля введены потому, что
и
могут быть меньше нуля.
51.Приближенное решение уравнений. Метод Ньютона (касательных) Действительные корни .
Пусть
дано уравнение
,
где
дифференцируемая
функция. Требуется найти все действительные
корни с заданной точностью.
Графический
способ.
Приведём
к виду
где
Оба эти уравнения равносильны, т.е. имеют
одни и те же корни. Распределение членов
выполняется с учётом простоты построения
графиков
и
.
Например:
где
и
Для
где
и
После
этого строятся графики
и
на одной координатной плоскости. Абсциссы
точек пересечения этих кривых будут
корнями уравнения
а следовательно, и
т.к. в общей точке
и
Отсутствие общих точек означает
отсутствие действительных корней
Т.о. это построение даёт возможность
определить число действительных корней
и их приближённые числовые значения.
В
случае (1) мы имеем 2 действительных корня
и
,
в (2) – нет. Мы нашли приближённые корни.
Для их уточнения можно использовать Метод деления отрезка пополам.
Методы уточнения приближённого корня.
Метод
Ньютона
(касательных). Пусть
имеет корень
,
отделённый промежутком
и пусть
дважды дифференцируема на
.
Рассмотрим график
.
Проведём в
касательную
имеющую уравнение
Эта касательная пересечёт ОХ
в точке с абсциссой
Докажем, что
если
возрастает, т.е
и
т.е.
вогнута. При этих условиях, учитывая,
что
на
получим
Т.к.
также
возрастает. Из
имеем
а
по формуле Лагранжа
где
а
Т.к.
т.е.
или
Следовательно,
и поэтому
более
точное приближение
,
чем
Заменяя
на
можно повторить эту процедуру и найти
которое
находится между
и
Продолжая процесс, получим
последовательность
где
(*)
Теорема.
Последовательность
имеет предел - точный корень
уравнения
Метод уточнения корня с помощью формулы (*) называют методом Ньютона.
Итак
метод Ньютона применим, если в промежутке
содержится только 1 корень уравнения
не должна иметь экстремумов и точек
перегиба, т.е.
и
Кроме того, график
должен пересекать ось Х,
т.е.
При этих условиях гарантируется
существование области
,
которая распологается слева или справа
от
,
в зависимости от того, где будут одинаковы
знаки
и
Эти условия являются достаточными. Т.е. при их нарушении может случиться так, что корень всё же находится по методу Ньютона.