41.Схема исследования функции на экстремум.

1. Находится f(x).

2. Находятся критические x:

a) f(x)=0 и находятся действительные корни

Б) находятся x, при которых f(x) терпит разрыв.

3. Исследуется знак f(x) слева и справа от критической точки. На основании знак делается вывод о существовании или отсутствии экстремума и определяется его тип.

4. Вычисляются min и max зн-я функции.

5. Полученные значения наносятся на XoY и схематически строится график.

42. Исследование функции на экстремум с помощью второй производной.

Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Пусть при производная от обращается в нуль, т.е. . Пусть, кроме того, и непрерывна в окрестности . Тогда справедлива

Теорема. Пусть , тогда при имеет максимум, если и минимум, если .

Доказательство. Пусть и . Т.к. непрерывна, то малый отрезок, содержащий , во всех точках которого . Сл-но, х_{1 -} max

Пусть теперь в окрестности ,то мы имеем в .

Если в , то в этой точке может быть max, min, или не быть ни того ни другого. В этом случае исследование функции надо вести первым способом (т.е. исследовать знак первой производной).

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Иногда возникает задача нахождения наибольшего и наименьшего зн-ий функции на отрезке. Отметим, что эти значения могут достигаться или во внутренней точке отрезка или на его концах, поэтому для их поиска находятся все критические точки, затем вычисляются значения функции во всех крит.точках и на концах этого отрезка, а затем из полученных значений выбираем наибольшее и наименьшее.

43.Формулы Тейлора и Маклорена Формула Тейлора

Предположим, что имеет все произвольные до n+1 –го порядка включительно в окрестности . Для того, чтобы вычислить значения данной функции у=ƒ(х), ее заменяют многочленом Р_n(х) степени n, значения которого всегда и легко вычисляемы. Обоснование возможности представлять функцию многочленом дает формула Тейлора.

Найдём многочлен степени не выше n, такой, что

(1)

Естественно предположить, что «близок» к в некотором смысле.

Будем искать в форме многочлена по степеням с неопределёнными коэффициентами:

(2)

будем искать из условия (1). Предварительно найдём производные от

(3)

Подставляя теперь вместо и заменяя на , согласно (1), получим:

Подставляя теперь вместо в (2) получим

Формула * называется формулой Тейлора для .

Если в формуле Тейлора положить , то

(**) *

Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой Маклорена.

44.Разложение функций у=е^х, y=sin х, y=cos x по формуле Маклорена

1. . В первую очередь найдём значения при

Подставляя эти значения в формулу (**) Маклорена, получим

, где .(штучка= )

Если , то взяв , получим R_n (x)=[xⁿ⁺¹ /(n+1)!]*e

оценку остаточного члена

При , получается формула, позволяющая найти приближённое значение числа :

Здесь ошибка не превосходит или .

2.

Подставляя теперь эти значения в формулу Тейлора, получим

.

Применим полученную формулу для , положив .

3. .

,

(х – в радианах).