Приложения производной функции

Правило Лопиталя

Это правило используется для раскрытия неопределенностей вида и .

Теорема. Пусть и (х) - функции, дифференцируемые в некотором полуинтервале , причем(х)0 , и пусть при обе эти функции стремятся к нулю или обе стремятся к бесконечности. Тогда, если отношение их производных имеет предел при , то этот же предел имеет и отношение самих функций: .

Доказательство. Ограничимся случаем

Доопределим функции и (х) в точке а, полагая f(a)= (a)=0.

Тогда эти функции станут непрерывными на отрезке и будут удовлетворять условиям теоремы Коши для любого отрезка , где . Поэтому

, где . При величина, с также стремится к а. Следовательно, .

Замечание. Теорема остаётся справедливой и в том случае, если и (х) одновременно стремятся к 0 или при .

Примеры.

1) ;

2) .

Рассмотрим неопределенности следующих видов:

Неопределенность вида .

Под раскрытием такой неопределенности понимают нахождение предела

(f(x) (x)), когда , (x)=.

Этот случай преобразованием выражения f(x) - (x) сводится к неопределённости вида или .

Неопределённость вида .

Под раскрытием такой неопределённости понимают нахождение предела (f(x)(x)), если f(x)=0, (x)=. Этот случай также преобразованием выражения f(x)(x) сводится к раскрытию неопределённостей вида или .

Пример.

Неопределённость вида

Под раскрытием такой неопределённости понимают нахождение предела , если , .

Неопределённость вида

Под раскрытием такой неопределённости понимают нахождение предела

, если , .

Неопределённость вида

Под раскрытием такой неопределённости понимают нахождение предела

, если .

Неопределённости вышеуказанных видов приводятся к случаям неопределённостей вида или обычно с помощью логарифмирования выражения .

Пример. , , ,

, , , .

Исследование функций и построение графиков Необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции

Определение. Функция , определённая на некотором интервале, называется возрастающей (убывающей) на этом интервале, если из неравенства , где и любые две точки интервала, следует неравенство , .

Обозначив , , получим, что для возрастающей и для убывающей функций.

Теорема 1 (необходимое условие возрастания функции). Если дифференцируемая в интервале функция возрастает, то её производная не может быть отрицательной ни в одной точке данного интервала, т.е.

для .

Доказательство. Пусть - возрастающая функция в интервале . Рассмотрим две точки и из этого интервала. Тогда .

Т.к. предел положительной функции не может быть отрицательным, то .

Т.к. функция дифференцируема, то и, следовательно .

Аналогично доказывается следующая теорема.

Теорема 2 (необходимое условие убывания функции). Если дифференцируемая в интервале функция убывает, то её производная не может быть положительной ни в одной точке данного интервала, т.е. для .

Теорема 3 (достаточное условие возрастания функции). Если непрерывная на отрезке функция в каждой внутренней точке этого отрезка имеет положительную производную, то эта функция возрастает на отрезке .

Доказательство. Пусть для всех . Возьмём две произвольные точки и из отрезка , причём .

По формуле Лагранжа для отрезка получим , .

Т.к. по условию и то произведение и, следовательно, Отсюда т.е. функция возрастает на отрезке .

Аналогично доказывается следующая теорема.

Теорема 4 (достаточное условие убывания функции).

Если непрерывная на отрезке функция в каждой внутренней точке этого отрезка имеет отрицательную производную, то эта функция

убывает на отрезке .

Пример. Найти интервалы монотонности функции , , при функция монотонно возрастает, а при монотонно убывает.

Локальный экстремум функции

Определение 1. Функция имеет локальный максимум в т. , если существует такая окрестность точка , что для всех точек , принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство .

Определение 2. Функция имеет локальный минимум в т. , если существует такая окрестность точка , что для всех точек , принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство .

Максимум и минимум объединяются общим названием экстремум функции.

Теорема (необходимый признак существования экстремума функции).

Если дифференцируемая в точке функция имеет в этой точке максимум или минимум, то её производная при обращается в нуль, т.е.

Доказательство. Пусть для определённости функция имеет в т. максимум. По определению максимума должна существовать такая окрестность точки , что для всех точек этой окрестности . Т.к. по условию функция имеет в т. производную , то, по теореме Ферма, .

Аналогично доказывается теорема для случая минимума функции.

До сих пор рассматривался случай, когда функция имела производную в точке экстремума. Однако встречаются случаи, когда в точках экстремума функция не имеет производной. Например, функция в т. не имеет производной, но эта точка является точкой минимума. Поэтому сформулируем необходимый признак существования экстремума следующим образом:

Если непрерывная функция имеет в т. экстремум, то производная функции обращается в этой точке в нуль или не существует.

Однако условие (или не существует) не является достаточным для существования экстремума. Например, для функции производная при обращается в нуль, но точка не является точкой экстремума.

Определение. Значение аргумента , при котором производная обращается в нуль или не существует, называется критическим (критической точкой).

Т.о., экстремум функции, если он существует, может иметь место только в критических точках.

Теорема. (достаточный признак существования экстремума).

Если непрерывная функция имеет производную во всех точках некоторого интервала, содержащего критическую точку (за исключением, может быть, самой этой точки) и если производная при переходе аргумента слева направо через критическую точку меняет знак с плюса на минус, то функция в этой точке имеет максимум, а при перемене знака с минуса на плюс – минимум.

Доказательство. Пусть - критическая точка и пусть, для определённости, при переходе аргумента через т. производная меняет знак с плюса на минус, т.е. существует достаточно малое число , такое, что для и для . На основании теорем о возрастании и убывании функций заключаем, что возрастает на отрезке и убывает на отрезке .

Следовательно, значение функции в т. больше, чем во всех остальных точках сегмента , т.е. в т. функция имеет максимум.

Аналогично доказывается теорема и в случае минимума.

Замечание. Если производная не меняет знака при переходе через критическую точку, то функция в этой точке не имеет ни максимума, ни минимума.

Пример.

	+		-		+

Теорема. Достаточный признак существования экстремума (по второй производной)

Пусть в точке первая производная функции равна нулю ( ), а вторая производная существует и отлична от нуля ( ). Тогда, если , то в точке функция имеет максимум, если же , то в точке функция имеет минимум.

Доказательство. Пусть для определённости . По определению второй производной имеем: . Т.к. по условию , то

. Учитывая, что , получаем .

Т.к. предел отрицателен, то для малых по абсолютной величине значений выполняется неравенство .

Пусть , тогда . Если же , то .

Следовательно, при переходе через точку первая производная меняет знак «+» на «-», т.е. функция имеет в т. максимум. Аналогично доказывается, что если , то в т. функция имеет минимум.

Пример. Найти экстремумы функции на , , , , , , , т.е. - точка максимума.

Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции, заданной на отрезке

Рассмотрим функцию , непрерывную на отрезке . В силу непрерывности эта функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений или на границе отрезка, или внутри него. Если наибольшее (или наименьшее) значение функции достигается во внутренней точке с отрезка, то это значение является максимумом (или минимумом) функции, т.к. неравенство (или ), справедливое для всех точек , выполняется и для любой окрестности т. , лежащей внутри отрезка .

Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке

1. Находим все критические точки функции в интервале и вычисляем в них значения функции.

2. Вычисляем значения функции на концах отрезка.