Монотонные функции

Определение.

Функция называется монотонной (возрастающей или убывающей), если из следует .

Теорема1. Если монотонно возрастающая функция для всех значений аргумента ограничена сверху ( ), то она имеет при конечный предел.

Теорема 2. Монотонно возрастающая (убывающая) на функция может иметь в лишь разрывы первого рода, т.е. скачки.

Теорема 3. Если значения монотонно возрастающей (убывающей) в промежутке функции содержатся в промежутке и полностью заполняют его, то эта функция непрерывна в .

Теорема 4. Пусть функция определена, монотонно возрастает (убывает) и непрерывна на . Тогда в соответствующем промежутке значений этой функции существует однозначная обратная функция , также монотонно возрастающая (убывающая) и непрерывная.

Производная и дифференциал функции

Скорость движения

Рассмотрим прямолинейное движение некоторого твердого тела. Расстояние S движущегося тела, отсчитываемое от некоторого начального его положения , будет зависеть от времени t, т.е. S будет функцией времени t : S = f ( t ). Пусть в некоторый момент времени t движущееся тело находилось на расстоянии S от начального положения , а в следующий момент тело оказалось в положении - на расстоянии от начального положения.

Таким образом, за промежуток времени t расстояние S изменилось на величину S. Рассмотрим отношение , которое даст нам среднюю скорость движения тела за время t : VСР = . ( 1 )

Перейдем в равенстве (1) к пределу при . Этот предел и называют скоростью движения в данный момент , V = . ( 2 )

Перепишем равенство (2) в развернутом виде. Т.к. , то

V= . ( 3 )

Это и будет скорость неравномерного движения. Из выражения (3) следует, что V не зависит от приращения времени , а зависит от значения t и функции .

Пример. Найти скорость движения тела в произвольный момент t и в момент t=2 сек, если зависимость пути от времени выражается формулой S= .

Решение :

.

.

. Отсюда V = .

При t = 2 , V = = =19,6 (м/c).

Производная функции

Рассмотрим функцию , определенную в некотором промежутке. Пусть аргумент получил некоторое приращение .Тогда функция получит некоторое приращение ,которое будет равно

Составим отношение приращения функции к приращению аргумента

.

Найдем предел этого отношения при . Если этот предел существует, то его называют производной функции и обозначают :

.

Следовательно, производной данной функции по аргументу называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда .

В общем случае производная является функцией от .

Обозначения производной:

Конкретное значение производной при обозначается или .

Операция нахождения производной от функции называется дифференцированием этой функции.

Пример: Найти производную функции :

1. в произвольной точке ,

2. в точке .

, .

Замечание: Из формулы (3) следует, что скорость тела в момент времени выражается формулой т.е. , т.е. скорость равна производной от пути по времени .

Геометрическое значение производной

Пусть на плоской кривой С задана точка . Рассмотрим другую точку этой кривой и проведем секущую .

Если точка начинает перемещаться по кривой С, а точка остается неподвижной, то секущая меняет свое положение. Допустим, что существует прямая , проходящая через точку , которая обладает следующим свойством: если точка при перемещении ее по кривой С неограниченно приближается к точке , то угол между прямой и секущей стремиться к нулю. Тогда эта прямая называется касательной к кривой С в точке .

Т.о., касательная есть прямая, занимающая предельное положение секущей.

Рассмотрим график непрерывной функции , имеющей в точке с абсциссой невертикальную касательную. Найдем ее угловой коэффициент , где - угол касательной с осью .

Проведем через точки и графика с абсциссой секущую. Ее угловой коэффициент , где : - угол секущей с осью . Т.к функция непрерывная, то при , поэтому точка , перемещаясь по графику, неограниченно приближается к точке . При этом секущая неограниченно приближается к касательной, т.е. и Поэтому угловой коэффициент касательной

Т.о., угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой равен значению производной этой функции в точке : .

Дифференцируемость функций

Определение: Если функция имеет производную в точке , т.е. если существует , то говорят, что при данном значении функция дифференцируема или имеет производную.

Если функция дифференцируема в каждой точке некоторого интервала , то говорят, то она дифференцируема в интервале .

Теорема: Если функция дифференцируема в некоторой точке , то она в этой точке непрерывна.

Доказательство: Если , то , где при .

Т.о., в точках разрыва функция не может иметь производной. Обратное заключение неверно, т.е. из того, что в какой-нибудь точке функция непрерывна, не следует, что в этой точке она дифференцируема.

Пример: , .

При и ; при имеем , т.е. функция не дифференцируема в точке

Производные некоторых основных элементарных функций

1.Производная постоянной . Т.к. функция постоянна, то приращение

и .

2.Производная степенной функции с натуральным показателем n.

По формуле бинома Ньютона

;

3.Производная показательной функции

.

.

Если ,то .

4.Производная логарифмической функции

;

, .

5.Производные функций

;

.

Аналогично .

Основные правила дифференцирования

Теорема 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной, т.е. если , то .

Доказательство.

.

Теорема 2. Если функции и дифференцируемы в точке , то в этой же точке дифференцируема и их сумма, причем .

Доказательство.

,

,

.

Пример:

, .

Теорема 3. Если функции и дифференцируемы в данной точке , то в этой же точке дифференцируемо и их произведение, причем

Доказательство.

;

, ,т.к. - функция непрерывная,

следовательно,

Теорема 4. Если в данной точке функции и дифференцируемы и , то в той же точке дифференцируемо и их частное, причем .

Доказательство.

;

.

Пример. .

Производная обратной функции

Пусть дана непрерывная возрастающая ( или убывающая) функция , заданная на интервале ( ). Тогда для нее существует обратная функция , которая является непрерывной возрастающей (или убывающей) на соответствующем интервале оси . Для нахождения обратной функции необходимо разрешить уравнение относительно , если это возможно.

Пример. на отрезке .

Теорема. Если для функции существует обратная функция , которая в рассматриваемой точке имеет производную ,отличную от нуля, то в соответствующей точке функция имеет производную , которая вычисляется по формуле .

Доказательство.

, т.к. - монотонная функция, то . Отсюда

. Т.к. - непрерывная функция, то при

Переходя к пределу, получим . Пример.

. Обратная функция

Пример.

, , .

Производная сложной функции

Пусть заданы функции и . Тогда есть сложная функция от ,

Теорема. Если функция имеет производную в точке , а функция

имеет производную в соответствующей точке , то сложная функция в данной точке имеет производную : .

Пример. .

Производная неявно заданной функции

Пусть значения двух переменных и связаны между собой уравнением: . (*)

Если функция , определенная на некотором интервале , такова, что уравнение (*) при подстановке в него вместо выражения обращается в тождество относительно , то функция есть неявная функция, определенная уравнением (*).

Для нахождения производной неявно заданной функции необходимо продифференцировать уравнение (*), считая, что есть функция от .

Пример: ; ; .

Производная сложной показательной функции

Рассмотрим показательную функцию, у которой и основание и показатель степени являются функциями от : .

Теорема. Если , то .

Доказательство.

.

Пример:

.

Замечание: Выражение называется логарифмической производной.

Производная функции, заданной параметрически.

Пусть функция от задано параметрическими уравнениями

.

Предположим, что эти функции имеют производные и что функция

имеет обратную которая также имеет производную. Тогда определенную параметрическими уравнениями функцию можно рассматривать как сложную функцию

Тогда, дифференцируя сложную функцию, получим:

Из теоремы о дифференцировании обратной функции следует

, отсюда .

Пример: , .

Уравнения касательной и нормали к кривой.

Касательная к графику функции в некоторой точке , где , есть прямая, проходящая через эту точку и имеющая угловой коэффициент . Уравнение касательной имеет вид : .

Нормалью к кривой называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. Уравнение нормали к графику функции в точке имеет вид: .

Пример: Найти уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .

; .

Тогда - уравнение касательной, а - уравнение

Производные высших порядков

Пусть функция дифференцируема в некотором интервале . Тогда ее производная является функцией от . Пусть эта функция тоже имеет производную. Эта производная называется второй производной или производной второго порядка функции и обозначается .

При этом называется первой производной или производной первого порядка функции

Пример: .

Производная второй производной функции называется третьей производной, или производной третьего порядка данной функции, и обозначается: .

В общем случае производной n-го порядка функции называется первая производная производной (n-1)-го порядка данной функции и обозначается .

Производные порядка выше первого называются производными высшего порядка.

Пример: .

Выясним механический смысл второй производной. Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону , где – путь, проходимый за время . Тогда скорость этого движения есть некоторая функция времени . Отношение называется средним ускорением за промежуток времени .

Ускорением в момент называется предел среднего ускорения при

.

Т.о., ускорение прямолинейного движения точки есть производная скорости по времени. Т.к. скорость есть производная пути по времени : , то .

Т.е. ускорением прямолинейного движения точки равно второй производной пути по времени.

Дифференциал функции