17 Збереження імпульсу в теорії відносності. Зв’язок між масою та енергією.

Згідно принципу відносності Ейнштейна усі закони природи, в тому числі й закон збереження імпульсу, повинні бути інваріантними по відношенню до перетворень Лоренца. Перевіримо, чи є інваріантним відносно перетворення Лоренца закон збереження імпульсу у вигляді, у якому він був сформульований у ньютонівській механіці.

Для цього розглянемо абсолютно непружне центральне зіткнення двох однакових частинок маси . При зазначених на рис. 47.1 умовах сумарний імпульс частинок зберігається в системі (до й після зіткнення він дорівнює нулю). У цій системі компоненти швидкостей частинок дорівнюють , . Зрозуміло, що після зіткнення швидкості частинок у системі будуть дорівнювати нулю.

Перейдемо в систему . Відповідно до формули додавання швидкостей, яка була отримана на базі перетворення Лоренца, можемо записати

,

.

Таким чином, до зіткнення проекція на вісь сумарного імпульсу частинок дорівнює

. (47.1)

Після зіткнення частинки у системі мають швидкість, що дорівнює нулю. Це означає, що їх швидкість відносно системи дорівнює . Тому проекція сумарного імпульсу після зіткнення дорівнює . Таким чином

.

Отриманий нами результат означає, що в системі закон збереження імпульсу, визначеного як , не виконується. Тільки за умови, що швидкості частинок набагато менші , відмінністю виразу (47.1) від можна знехтувати. Звідси випливає, що визначення імпульсу у вигляді є придатним тільки за умови, що . Для швидкостей порівнянних зі швидкістю світла у вакуумі, імпульс повинен бути визначений якось інакше, причому при це новий вираз для імпульсу повинен переходити в ньютонівський .

2. Виявляється, для того щоб закон збереження імпульсу був інваріантним по відношенню до перетворень Лоренца необхідно:

1. Імпульс замінити на релятивістський імпульс .

2. Припустити, що частинка має енергію спокою, яка пов’язана з його масою. При цьому також вважати можливим взаємне перетворення маси та енергії.

3. Для того, щоб другий закон Ньютона був інваріантним по відношенню до перетворення Лоренца його також потрібно змінити

. (47.2)

Рівняння (47.2) є релятивістським рівнянням динаміки для матеріальної точки. Аналізуючи (47.2), бачимо, що в релятивістському випадку маса втрачає зміст коефіцієнта пропорційності між прискоренням і силою. Більше того, напрямки сила та прискорення можуть не збігатися. Крім того, на відміну від ньютонівської механіки сила у релятивістській механіці не є інваріантною (у різних інерціальних системах відліку вона має різні модулі й напрямки).

З’ясуємо, які умови потрібно виконати, щоб закон збереження енергії був інваріантним по відношенню до перетворень Лоренца.

Як показують відповідні розрахунки, збереження енергії виявляється інваріантним тільки у тому випадку, коли припустити, що вільна частинка, крім кінетичної енергії, також має додаткову енергію

, (49.1)

яка називається енергією спокою. Вона представляє собою внутрішню енергію частинки.

Тоді сума енергії спокою та кінетичної енергії, яку в релятивістській механіці називають повною енергією, буде дорівнювати

. (49.2)

Зазначимо, що термін «повна енергія» має в релятивістській механіці інший зміст, чим у ньютонівській механіці. У ньютонівській механіці повною енергією називається сума кінетичної й потенційної енергій частинки. У релятивістській механіці під повною енергією мається на увазі сума кінетичної енергії й енергії спокою частинки.

2. Як бачимо (див. (49.2)), повна енергія визначається лише швидкістю та масою частинки. Релятивістський імпульс частинки також визначається тільки швидкістю та її масою. Знайдемо зв’язок між повною енергією та імпульсом частинки.

Порівняємо формулу для релятивістського імпульсу

та формулою для повної енергії (49.2). З порівняння випливає, що імпульс і повна енергія частинки пов'язані співвідношенням

або . (49.3)

Підставляємо , який отримали в (49.3), в (49.2) і знаходимо

або

. (49.4)

Швидкість і маса є інваріантами. Отже, і вираз являє собою інваріант, тобто має однакове числове значення у всіх інерціальних системах відліку. При переході від однієї системи відліку до іншої повна анергія й імпульс змінюються, однак числове значення виразу (49.4) залишається однаковим.

3. З формули для енергії спокою (49.1) випливає, що всяка зміна маси тіла супроводжується зміною енергії спокою , при цьому ці зміни пропорційні одна одній:

(49.5)

Це твердження називають законом взаємозв'язку маси й енергії спокою (іноді для стислості говорять просто про енергію).

Взаємозв'язок маси і енергії приводить до того, що сумарна маса частинок, які взаємодіють між собою, не зберігається. Переконаємося в цьому на такому прикладі. Нехай дві однакові частинки масою , які рухаються з рівними за модулем й протилежно направленими швидкостями, мають абсолютно непружне зіткнення, у результаті якого утвориться нова частинка. Як випливає з закону збереження імпульсу, швидкість цієї нової частинки дорівнює нулю. До зіткнення повна енергія кожної частинки дорівнює . Повна енергія частинки, що утворилась, дорівнює , де – маса нової частинки. Із закону збереження енергії випливає, що . Звідки

.

Таким чином, маса частинки, що утворилася, більша суми мас вихідних частинок. Це обумовлено тим, що кінетична енергія частинок перетворилася в еквівалентну кількість енергії спокою, а це, у свою чергу, привело до зростання маси на .

При розпаді нерухомої частинки на декілька частинок, що розлітаються у різні сторони, спостерігається зворотне явище – сума мас частинок, які утворилися, виявляється меншою маси вихідної частинки на величину, яка дорівнює сумарній кінетичній енергії цих частинок, що поділена на .

В основі роботи атомних електростанцій лежить ланцюгова реакція розподілу ядер урану. Сумарна маса осколків, що утворилися при розпаді менше маси ядра урану. Тому процес розпаду супроводжується зменшенням енергії спокою частинок. Різниця енергій спокою перетворюється в кінетичну енергію осколків і в енергію електромагнітного випромінювання, яке виникає при розпаді.