8.3. Риск инвестиционных решений

Когда фирма делает долгосрочные инвестиции, она отказывается от денежных средств сегодня в пользу прибыли в будущем. Обычно эта прибыль возникает не ранее, чем через год после осуществления расходов. Ключевым фактором в оценке любого инвестиционного проекта является подразумеваемое позитивное соотношение между риском и ожидаемым доходом.

Разные инвестиционные проекты имеют различную степень риска. Кажущийся высокодоходный проект может стать настолько рискованным, что его осуществление приведет к значительному увеличению явного риска фирмы. В общем случае рискованность инвестиционного проекта можно определить как отклонение чистой текущей стоимости от ожидаемой. Для оценки инвестиционных проектов с учетом риска можно использовать его статистические характеристики: математическое ожидание, стандартное отклонение и коэффициент вариации, которые вычисляются по формулам (8.2)-(8.4), в которых в качестве случайной величины X выступает чистая текущая стоимость NPV. При анализе нескольких проектов при прочих равных условиях предпочтение отдается тому, у которого меньшим оказывается коэффициент вариации.

Инвестиции представляют собой вложения в активы экономического субъекта. Активы (assets) − это средства, обеспечивающие денежное поступление их владельцу в форме как прямых выплат (прибыль, дивиденды, рента и т.д.) так и со скрытых выплат (увеличение стоимости фирмы, недвижимости, акций и т.д.). Поэтому норма отдачи R (без учета инфляции) определяется как отношение всех денежных поступлений к цене приобретения:

, (8.6)

где K = K₁  K₀  прирост капитала; D  дивиденд; Р  цена приобретенного актива.

Активы делятся на рисковые и безрисковые. Безрисковые активы  это активы, дающие денежные поступления, размеры которых заранее известны и гарантированны. Обычно это государственные облигации, застрахованные денежные счета в банках и др. Рисковые активы  это активы, доход от которых может меняются и частично зависит от действия случайных факторов.

Каждый из вкладчиков капитала стоит перед выбором: высокая прибыль от рискованных операций (с опасностью потерять не только прибыль, но и вложенный капитал) или низкая прибыль от безрисковых операций. Практически безрисковой считается покупка государственных обязательств, например казначейских векселей в США или государственных краткосрочных облигаций (ГКО) в России (если забыть о политических рисках). Покупка же корпоративных ценных бумаг (акций и облигаций) почти всегда более или менее рискованна. Американцы подсчитали, что стандартное отклонение ожидаемой прибыли, характеризующее степень риска, равно 21,9 % для обычных акций, 8,2 % для промышленных облигаций и 4,4 % для казначейских векселей США.

Проблема выбора для инвестора между рисковыми и безрисковыми активами аналогична проблеме потребительского выбора между двумя товарами в условиях бюджетных ограничений. Рассмотрим ситуацию, когда инвестор решил вложить свои сбережения в два актива: безрисковые (государственные обязательства) и рисковые (акции). Ожидаемую прибыль от безрисковых вложений обозначим R_f, а от вложений на фондовой бирже  R_m. Очевидно, что R_m > R_f, (иначе вкладчики приобретали бы только безрисковые активы). Обозначим через b ту часть сбережений, которая размещена на фондовой бирже (0 b 1). Тогда часть сбережений, вкладываемых в государственные обязательства, составит (1  b). Ожидаемая прибыль от всех вложений R_p будет средневзвешенной ожидаемой прибылью двух активов:

R_p = bR_m + (1  b)R_f = R_f + b(R_m  R_f). (8.7)

Обозначим стандартное отклонение прибыли от вкладов на фондовой бирже через _m, стандартное отклонение прибыли от вкладов в безрисковые ценные бумаги _f =0. Тогда стандартное отклонение для данной комбинации ценных бумаг:

_p = b_m ; b = _p/_m. (8.8)

Тогда уравнение (8.7) принимает вид:

. (8.9)

Данное уравнение является уравнением бюджетной линии, описывая взаимосвязь между риском и прибылью. Из уравнения следует, что ожидаемая прибыль R_p возрастает по мере того, как стандартное отклонение этой прибыли _p увеличивается (рис. 8.4). Угол наклона бюджетной линии можно назвать ценой риска: он показывает, насколько возрастает риск вкладчика, который стремится получить дополнительную прибыль.

Рис. 8.4. Выбор соотношения прибыли и риска

На рис. 8.4, кроме бюджетной линии, показаны три кривые безразличия для одного вкладчика: U₁,U₂,U₃. Каждая кривая показывает такие сочетания размеров риска и прибыли, которые в равной степени удовлетворяют вкладчика. Кривые наклонены вверх, так как риск – «отрицательное благо» и рост нежелательного риска компенсируется повышением объема прибыли для сохранения неизменной удовлетворенности вкладчика. При этом кривая U₁ характеризует большую удовлетворенность, чем кривая U₂ и, тем более, U₃. Но кривая U₁ для вкладчика недостижима: она выходит за рамки его возможностей, очерченных бюджетной линией. Кривая U₃ достижима, но менее предпочтительна, чем кривая U₂. Оптимальным решением для вкладчика будет (как и в теории потребительского поведения) точка Е, в которой бюджетная линия является касательной к кривой безразличия U₂. В этой точке, иллюстрирующей выбор вкладчика (распределение им средств между рисковыми и безрисковыми активами), ожидаемая прибыль равна R_E, а стандартное отклонение _Е.

Разные вкладчики могут по-разному относится к риску, и тогда формы их кривых безразличия будут также различны, как и точки оптимального выбора на одной и той же бюджетной линии.

Если инвестор имеет возможность вложить свои средства не в один, а в несколько активов одновременно, то для принятия оптимального решения ему необходимо использовать аппарат портфельного анализа. Портфель предполагает наличие нескольких инвестиционных проектов. Использование портфеля в большинстве случаев позволяет инвестору уменьшить риск. Наиболее развит аппарат портфельного анализа применительно к финансовым инвестициям. В этом случае портфель (portfolio) − объединение двух или более ценных бумаг. В 1952 г. Гарри Марковиц опубликовал фундаментальную работу, которая является основой подхода к инвестициям с точки зрения современной теории формирования портфеля.

Поскольку портфель представляет собой совокупность различных ценных бумаг, его доходность может быть вычислена по формуле

, (8.10)

где W₀ − совокупная цена покупки всех ценных бумаг, входящих в портфель в момент t = 0; W₁ − совокупная рыночная стоимость этих ценных бумаг в момент t = 1 плюс совокупный денежный доход от обладания данными ценными бумагами в период владения. Величина r_p является случайной переменной и характеризуется ожидаемым значением и стандартным отклонением .

Ожидаемая доходность портфеля, состоящая из N ценных бумаг,

= (8.11)

где X_i − доля начальной стоимости портфеля, инвестированная в ценную бумагу i; − ожидаемая доходность ценной бумаги i.

Формула для вычисления стандартного отклонения портфеля, состоящего из N ценных бумаг, имеет вид

, (8.12)

где − ковариация доходностей ценных бумаг i и j (мера того, насколько доходности двух ценных бумаг зависят друг от друга), 0 ≤ ≤ 1− коэффициент корреляции между доходностями ценных бумаг i и j, и − стандартные отклонения ценных бумаг i и j .

Коэффициент корреляции = 1 указывает на то, что доходность двух инвестиционных предложений изменяется в строго одинаковых пропорциях; если = − 1, то доходности изменяются обратно пропорционально; нулевой коэффициент корреляции указывает на то, что данные показатели не связаны или независимы. Для большей части пар финансовых активов коэффициент корреляции принимает значения в пределах от нуля до единицы. Принимая проекты, для которых относительно низка степень корреляции с существующими проектами, фирма путем диверсификации может понизить свой совокупный предпринимательский риск. Чем ниже уровень положительной корреляции между проектами, тем ниже стандартное отклонение портфеля при прочих равных условиях.

Очевидно, что из набора N ценных бумаг можно сформировать бесконечное число портфелей. Теорема об эффективном множестве гласит: инвестор выберет свой оптимальный портфель из множества портфелей, каждый из которых:

• обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска;

• обеспечивает минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности.

Набор портфелей, удовлетворяющих этим двум условиям, называется эффективным множеством. На рис. 8.5 представлена иллюстрация достижимого множества, представляющего собой все портфели, которые могут быть сформированы из группы в N ценных бумаг (точки G, E, S и H являются примерами таких портфелей). Точка S соответствует наибольшей ожидаемой доходности, точка G – наименьшей; точка Е соответствует минимальному риску, точка Н − максимальному.

Эффективное множество портфелей лежит на верхней и левой границе достижимого множества между точками Е и S. Все остальные достижимые портфели являются неэффективными. Инвестор должен нарисовать свои кривые безразличия на одном рисунке с эффективным множеством, а затем приступить к выбору портфеля, расположенного на кривой безразличия, находящейся выше и левее остальных. Оптимальной точкой является точка касания О кривой безразличия инвестора с кривой множества эффективных портфелей.

Рис. 8.5. Выбор оптимального портфеля

Марковец предложил решить проблему выбора эффективного портфеля с помощью алгоритма квадратического программирования, известного как метод критических линий. Для начала инвестор должен оценить вектор ожидаемых доходностей R и ковариационную матрицу .

Допустим, что в распоряжении инвестора имеются три фирмы А, В и С, выпускающие акции, причем величины R и  имеют следующие значения:

. (8.13)

Затем определяется количество «угловых» портфелей, которые связаны с ценными бумагами и полностью описывают эффективное множество. «Угловой» портфель − это эффективный портфель, обладающий следующими свойствами: любая комбинация двух смежных «угловых» портфелей представляет из себя третий портфель, лежащий в эффективном множестве между двумя «угловыми» портфелями.

Компанией, акции которой наиболее доходны, является компания В. Соответствующим эффективном портфелем буде первый «угловой» портфель, состав которого описывается следующим вектором весов:

. (8.14)

Его ожидаемая доходность и стандартные отклонения связаны только с акциями компании В и соответственно составляют 24,6% и (854)^1/2, или 29,22%. На рис. 8.6 данный портфель обозначен 1.

Затем алгоритм определяет второй «угловой» портфель, расположенный на эффективном множестве ниже первого. Его состав определяется следующим вектором весов

. (8.15)

Это портфель, в котором инвестор вкладывает 22% своих фондов в акции компании В и 78% в акции компании С. Ожидаемая доходность и стандартное отклонение данного портфеля составляют соответственно 23,3 и 15,9%. На рисунке данный портфель обозначен 2.

Третий портфель имеет следующий состав:

. (8.16)

Ожидаемая доходность и стандартное отклонение данного портфеля равны соответственно 17,26 и 12,22%. Как и два предыдущих данный портфель является эффективным 3.

Далее алгоритм определяет состав четвертого «углового» портфеля:

. (8.17)

Можно вычислить его ожидаемую доходность и стандартное отклонение, которые равны 16,27 и 12,08% соответственно. Определив данный портфель, имеющий наименьшее стандартное отклонение из всех достижимых портфелей, алгоритм останавливается (рис. 8.6).

После того как были определены структура и местоположение эффективного множества Марковица, можно определить состав оптимального портфеля инвестора. Этот портфель соответствует точки касания кривых безразличия инвестора с эффективным множеством. Из графика инвестор определяет, где располагается эта точка и оценивает ожидаемую доходность портфеля.

Рис. 8.6. Угловые портфели

Теперь можно определить два «угловых» портфеля с ожидаемыми доходностями, лежащими выше или ниже данного уровня. Если ожидаемую доходность оптимального портфеля обозначить , а ожидаемые доходности двух ближайших «угловых» портфелей соответственно и , то состав оптимального портфеля может быть определен с помощью решения следующего уравнения относительно Y:

. (8.18)

Например, если оптимальный портфель имеет ожидаемую доходность в 20%, тогда можно заметить, что второй и третий «угловые» портфели являются верхним и нижним ближайшими « угловыми» портфелями, так как они имеют ожидаемые доходности соответственно 23,2 и 17,26%. В этом случае уравнение имеет вид

. (8.19)

Решением данного уравнения являются Y = 0,46. Это означает, что оптимальный портфель состоит на 46% из второго «углового» портфеля и на 54% из третьего «углового» портфеля. В терминах объема инвестиций в ценные бумаги компаний А, В и С данное утверждение принимает следующий вид:

. (8.20)

Таким образом, инвестор должен вложить 45% своих фондов в акции А, 10% − в акции В и 45% − в акции С.