Прямая линия в пространстве

Дано (рис. 4).

Рис. 4

.

Векторное уравнение прямой

Параметрическое уравнение прямой

Канонические уравнения прямой

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

.

.

Пусть даны две прямые и . Угол между двумя прямыми в пространстве Пусть даны две прямые и .

Угол между двумя прямыми будет определяться как угол между их направляющими векторами и тогда

.

Равенство будет условием перпендикулярности, а соотношение будет условием параллельности двух прямых в пространстве.

Примеры

1. Написать канонические и параметрическое уравнения прямой, проходящей через точку , параллельно прямой .

а) Из условия параллельности двух прямых за направляющий вектор искомой прямой возьмем вектор , тогда каноническое уравнение параллельной прямой будет иметь вид : .

в) Полагая , получим параметрическое уравнение параллельной прямой

2. Даны вершины треугольника . Найти уравнения сторон , и угол между ними.

Используем уравнение прямой, проходящей через две точки, и напишем уравнения соответствующих сторон

, .

Тогда используя формулу , получим , а угол между прямыми .

3. Написать уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно векторам и .

Направляющим вектором искомой прямой будет вектор, перпендикулярный векторам и , а именно

= .

Теперь можем написать каноническое уравнение искомой прямой

.

Плоскость в пространстве

Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку и имеющей заданный вектор нормали

. (19)

Общее уравнение плоскости

(20)

Исследование общего уравнения плоскости

1) D = 0 , плоскость проходит через О , т.е. через начало координат.

2) С = 0 , плоскость параллельна оси ОZ .

2') B = 0 , плоскость параллельна оси OY.

2") А= 0 , плоскость параллельна оси OX.

3) С = D = 0 , плоскость проходит через ось OZ .

3') B = D = 0 , плоскость проходит через ось OY.

3'') A = D = 0 , плоскость проходит через ось OX.

4. , уравнение плоскости, параллельной плоскости OXY и отстоящей от нее на расстоянии .

4') ,уравнение плоскости ,

параллельной плоскости OXZ и отстоящей от нее на расстоянии .

4'') , уравнение плоскости ,

параллельной плоскости OYZ и отстоящей от нее на расстоянии .

5) A = B = D = 0 , z = 0 уравнение плоскости OXY.

5') A = C = D = 0 , y = 0 уравнение плоскости OXZ.

5'') B = C = D = 0 , x = 0 уравнение плоскости OYZ.

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

.

Угол между двух плоскостей

Пусть даны две плоскости и . Угол между двумя плоскостями - это угол между нормалями к этим плоскостям, т.е. между векторами и . Тогда

.

Исходя из полученной формулы, получим условие перпендикулярности двух плоскостей, а именно , .

Соотношение дает условие параллельности двух плоскостей .