Векторное произведение двух векторов

Векторным произведением двух векторов и называется вектор такой , что

а) , где - угол между векторами ;

б) перпендикулярен плоскости, образованной векторами и , и направлен так, что, находясь на конце вектора , можно наблюдать перемещение вектора к вектору против часовой стрелки (рис. 4).

Рис. 4

Замечание. Длина вектора численно равна площади параллелограмма , построенного на векторах и как на сторонах .

Свойства векторного произведения

1. Векторное произведение равно нулю , если хотя бы один из векторов

нулевой или векторы и - коллинеарные .

2. .

3. .

Векторное произведение ортов

Исходя из определения векторного произведения, получим следующие равенства:

Z

,

, Y

Рис. 5

(рис. 5). X

Векторное произведение двух векторов , заданных своими координатами

Пусть даны векторы и .

Тогда их векторное произведение вычисляется по формуле

.

1. Найти векторное произведение двух векторов

2. Найти площадь треугольника , заданного координатами своих вершин,

Найдем векторы и . .

. .

3. Пусть даны векторы и , известно , что и угол между векторами и равен .

Найти длину их векторного произведения

.

.

4. Упростить выражение

= =

5. Доказать тождество

= = = + = .

Cмешанное произведение трех векторов

Определение. Смешанным произведением трех векторов называется выражение вида .

Пусть даны три вектора , , , тогда

= .

Геометрический смысл смешанного произведения

Смешанное произведение трех векторов численно равно по абсолютной величине объему параллелепипеда, построенного на векторах как на сторонах .

Если три вектора , , лежат в одной плоскости, то их смешанное произведение равно нулю , т.е.

= 0 , что и будет условием компланарности трех векторов .

Примеры

1. Найти смешанное произведение трех векторов

.

2. Вычислить объем пирамиды с вершинами : .

Найдем векторы

Вычислим их смешанное произведение , что численно равно объему параллелепипеда ,построенного на этих векторах как на сторонах . А объем пирамиды составляет шестую часть объема параллелепипеда , таким образом .

3.Установить, лежат ли четыре точки в одной плоскости.

Найдем три вектора

Вычислим их смешанное произведение , т.е. данные векторы компланарны и, следовательно, четыре точки лежат в одной плоскости.