9. Дифференциальное уравнение осциллятора с затуханием и его решение для случая большого затухания.

1 ) Осциллятор с большим затуханием:

Пусть на колебательную систему действует сила трения, пропорциональная скорости (случай вязкого трения): Тогда второй закон Ньютона может быть записан в виде характеристическое уравнение имеет вид

П ри  > ₀ решение дифференциального уравнения, соответствующего второму закону Ньютона имеет иной вид: где Параметры А и В определяются из начальных условий. Время возвращения системы в положение равновесия определяется экспонентой с меньшим показателем, то есть ₁. При большом затухании ₁ может быть достаточно большим, то есть время релаксации окажется большим, что нежелательно при работе стрелочных приборов.

2) Особенности затухающих колебаний в системе связанных осцилляторов:

Разные моды затухают по-разному. При малых затуханиях нормальные моды остаются независимыми, поэтому их число равно числу степеней свободы, как и для систем без затухания. При больших затуханиях моды перестают быть независимыми.

10. Дифференциальное уравнение вынужденных гармонических колебаний и его решение методом векторных диаграмм.

1) Установившиеся вынужденные колебания:

Вынужденные колебания – колебания, происходящие под действием переменной внешней силы. Будем рассматривать только случай внешней силы, изменяющейся по гармоническому закону: F = F₀cost.

П од действием внешней силы система будет выведена из положения равновесия, поэтому в ней возбудятся собственные (свободные) колебания с частотой _S; кроме этого, система будет колебаться с частотой  внешней силы. Постепенно свободные колебания затухнут; частота колебаний станет равна  – такой режим колебаний называется установившимся. Второй закон Ньютона запишется в виде где f₀ = F₀/m. Решение данного дифференциального уравнения будет состоять из решения однородного уравнения, соответствующего свободным затухающим колебаниям, и частого решения, которое может быть найдено в виде Тогда Воспользуемся методом векторных диаграмм: по теореме Пифагора

Составляющие амплитуды A_п = Asin и A_д = Acos называются амплитудами поглощения и дисперсии соответственно. При система ведёт себя как свободный осциллятор, на который действует постоянная по величине сила F₀. При В этих условиях осциллятор вообще не успевает следовать за внешней силой, отсюда малая амплитуда и отставание по фазе на .