35. Принцип возможных перемещений.
Этот
принцип устанавливает общее условие
равновесия механической системы.
Согласно этому принципу для равновесия
механической системы с идеальными
связями необходимо и достаточно, чтобы
сумма работ , всех приложенных к системе
активных сил на любом возможном
перемещении системы была равна нулю.
(т.е. говорит о том что сумма работ всех
реакций а также сумма всех сил на переем
равна нулю).
Количество уравнений, которые можно составить для механической системы, исходя из принципа возможных перемещений, равно количеству степеней свободы этой самой механической системы.
36. Общ ур-е динамики.
Объединяя
принцип Даламбера и принцип возможных
перемещений, получим общеe уравнение
динамики:
(сумма работ всех вн сил на возм переем
и всех сил инерции на возм переем равна
нулю)
при движении системы с идеальными связями в каждый данный момент времен сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю. Уравнение использует принцип возможных перемещений и принцип Даламбера и позволяет составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы. Дает общий метод решения задач динамики. Последовательность составления: а) к каждому телу прикладывают действующие на него задаваемые силы, а также условно прикладывают силы и моменты пар сил инерции; б) сообщают системе возможные перемещения; в) составляют уравнения принципа возможных перемещений, считая систему находящейся в равновесии.
37. Обобщенные координаты системы. Обобщенные силы и их вычисление.
Будем рассматривать системы с голономными связями(геометрические и интегрируемые дифференциальные). В этом случае число незав корд опред полож системы совпадает с числом степеней свободы. Независимые между собой параметры любой размерности, число которых равно числу ст свободы системы и которые однозначно опред полож, назыв обобщенными корд системы q1…qn (обобщ корд могут быть углы, линейн рвсстояния, площади )
Число степеней свободы – это число независимых между собой скалярных величин однозначно опред полож мех системы в пространстве.
Коорд q1…1qn незав а значит и элемент приращения ϭq1…ϭqs независимы между собой. При этом каждая из них опред незав от тругих возм переем сист. При переходе от одной системы корд к другой можно уст связь между ними xk=xk(q1…qs) Для радиус-вектора rk k-ой точки системы rk=rk(q1…qs). Если система движеться то и обобщ корд будут изм со времением q1=f1(t)…qs=fs(t) – кинематич ур-е движ сист в обобщ корд. (произв от обобщ корд – обобщ скорости сист).
Вычисляя
возм работу видно :
;
Коэф Qi – называються обобщенными силами. Таким образом каждой обобщ корд qi соотв своя обобщ сила Qi. Таким образом, обобщенной силой, соответствующей i-й обобщенной координате, называется величина, равная коэффициенту при вариации данной обобщенной координаты в выражении возможной работы сил, действующих на механическую систему.
38.Условия равновесия системы в обобщенных координатах.
Принцип возм переем в обобщ корд Q1ϭq1+…+Qsϭqs =0, т.к. ϭqi независимы между собой необходимо чтобы Q1=0, …Qs=0. Для равновесия мех системы необх и достаточно чтобы все обобщ силы соотв выбранным для системы обобщ корд были равны нулю.
В случае потенциальной силы усл запишуться
При равновесии полный дифференциал функций U или П равны нулю. ϭU(q1, …, qs)=0.
39.Уравнение Лагранжа 2 рода.
(i=1,2…s) — дифференциальные уравнения второго порядка, s — число степеней свободы системы (число независимых координат); qi — обобщенная координата (перемещение, угол, площадь и др.); — обобщенная скорость (линейная скорость, угловая, секторная и др.),
Т = Т(q1,q2,…,qS,,…,t) — кинетическая энергия системы, Qi — обобщенная сила (сила, момент и др.), ее размерность зависит от размерности обобщенной координаты и размерности работы.
Для вычисления обобщенной силы, например Q1, задаем возможное перемещение, при котором все вариации обобщенных координат, кроме dq1, равны нулю:
dq1¹0, dq2= dq3=…= dqS= 0. Вычисляем на этом перемещении возможную работу dА1 всех активных сил, приложенных к системе. Имея dА1= Q1dq1, находим .
Если силы, действующие на систему, потенциальные (консервативные) (например, силы тяжести, силы упругости), то , П = П(q1,q2,…,qS,t) — потенциальная энергия.
Вводится функция Лагранжа: L = T — П, тогда — уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы.
При стационарных связях (связях, не зависящих от времени) t не входит в выражение для кинетической энергии, тогда — квадратичная форма обобщенных скоростей, aij= aji — коэффициенты инерции. Квадратичная форма всегда положительна.