24. Необходимые условия существования экстремума функции.

Определение точки экстремума функций двух переменных:

Говорят, что функция   имеет в   максимум (минимум) если существует такая окрестность точки  , что для любой   из неё выполняется неравенство   

Необходимое условие существования:

Пусть функция   имеет в   экстремум. Тогда   и   либо равны 0, либо равны  , либо не существуют.

Замечание:

Если   - дифференцируемая в  , то  .

25. Достаточные условия существования экстремума функции

Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция y = f(x) дифференцируема в  -окрестности точки  , а в самой точке   непрерывна. Тогда

• если   при   и   при  , то   - точка максимума;

• если   при   и   при  , то   - точка минимума.

Другими словами:

• если в точке   функция непрерывна и в ней производная меняет знак с плюса на минус, то   - точка максимума;

• если в точке   функция непрерывна и в ней производная меняет знак с минуса на плюс, то   - точка минимума.

Второй достаточный признак экстремума функции. Пусть  ,

• если  , то   - точка минимума;

• если  , то   - точка максимума.

Как видите, этот признак требует существования производной как минимум до второго порядка в точке  .

Третий достаточный признак экстремума функции. Пусть функция y = f(x) имеет производные до n-ого порядка в  -окрестности точки   и производные до n+1-ого порядка в самой точке  . Пусть   и  . Тогда,

• если n – четное, то   - точка перегиба;

• если n – нечетное, то   - точка экстремума.

Причем,

• если  , то   - точка минимума;

• если  , то   - точка максимума.

26. Дифференциал функции, определение, геометрический смысл, свойства

    Геометрический смысл производной и дифференциала.  Понятие производной и дифференциала функции в данной точке связано с понятием касательной в этой точке.

Пусть функция f   непрерывная  при  х = х_о.  В точке  (х_о,  f (х_о)) существует наклонная, касательная к графику функции  f,  тогда и только тогда, когда  f  имеет в точке  х_о  производную. При этом уравнение касательной имеет вид      у = f^/(x_о) (x -x_о) + y_о и, значит, производная в точке  х_о  равна тангенсу угла  наклона касательной к оси  ОХ, а дифференциал в точке  х_о  равен приращению ординаты касательной.