Элементы линейной алгебры
1. Матрица, размерность матрицы, единичная матрица.
2. Определитель матрицы второго порядка.
3. Определитель матрицы третьего порядка.
4. Сумма матриц, произведение матрицы на число.
5. Произведение матриц.
6. Правило Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений.
Математический анализ
Дифференциальное исчисление
1. Числовые последовательности, ограниченные, монотонные.
2. Предел последовательности, определение.
3. Вычисление предела последовательности.
4. Второй замечательный предел, число е
5. Понятие числовой функции, область определения, график функции.
6. Ограниченность функции.
7. Монотонность функции.
8. Четность функции.
9. Периодичность функции.
10. Обратная функция.
11. Сложная функция.
12. Предел функции в точке.
13. Пределы от арифметических операций над функциями.
14. Вычисление пределов функции.
15. Первый замечательный предел.
16. Второй замечательный предел и его разновидности.
17. Непрерывность функции в точке.
18. Производная функции, таблица производных.
19. Геометрический смысл производной.
20. Производная алгебраической суммы функций.
21. Производная произведения функций.
22. Производная частного двух функций.
23. Необходимые условия возрастания и убывания функции.
24. Необходимые условия существования экстремума функции.
25. Достаточные условия существования экстремума функции.
26. Дифференциал функции, определение геометрический смысл, свойства.
Матрица, размерность матрицы, единичная матрица.
Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m одинаковой длины строк или n одинаковой длины столбцов. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы
Единичная матрица - это диагональная матрица, у которой каждый элемент на главной диагонали равен единице.
Определитель матрицы второго порядка.
Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
Определитель матрицы третьего порядка.
Определителем
матрицы третьего порядка, или определителем
третьего порядка, называется число,
которое вычисляется по формуле:
Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.
Знаки, с которыми члены определителя входят в формулу нахождения определителя третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.
Пример. Вычислить определитель третьего порядка:
Сумма матриц, произведение матрицы на число.
Для матриц и одного порядка их суммой называется матрица, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов складываемых матриц:
Произведением матрицы на число называется матрица, каждый элемент которой равен произведению соответствующего элемента матрицы на число :
Произведение матриц.
Матрица, получаемая в результате операции умножения, называется произведением матриц.
Правило Крамера
Правило Крамера — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы.
∆ - определитель, коэфицент у которого n столбец заменен столбцом свободных членов.
Числовая последовательность, ограниченная, монотонная.
ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ – функция вида y = f(x), x О N, обозначается y = f(n) или y1, y2,…, yn,….
Последовательность называется ограниченной, если найдутся с и С, при которых с ≤ х ≤ С
Монотонная последовательность
-
возрастает, если х > х
- убывает, если х > х
х ≥ х - неубывающая
х ≤ х - убывающая
Предел последовательности, определение.
Число А называется пределом последовательности a1, a2, …, если, начиная с некоторого места, все члены этой последовательности будут сколь угодно мало отличаться от А.
Обозначение:
Вычисление предела последовательности.
Второй замечательный предел, число е
Эта последовательность ограниченна сверху, а именно (1 + 1/n) < 3, возрастает
(1 + 1/n) > (1 + 1/n)
1/n (1 + 1/n) > 0
х =(1 + 1/n) ≈ 2,7182818284590 (число е)
Понятие числовой функции, область определения, график функции.
Ограниченность функции.
Функция f(x) называется ограниченной на данном промежутке (a,b), если существуют некоторые числа m и M такие, что m ≤ f(x) ≤ M при х є (a,b).
Монотонность функции.
Функция f (x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) < f (x2).
Функция f (x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f (x1) > f (x2).
Четность функции.
Чётная функция — функция, не изменяющая своего значения при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно оси ординат).
Нечётная функция — функция, меняющая знак при изменении знака независимого переменного (симметричная относительно центра координат).
f (–x) = f (x). – четная.
f (–x) = –f (x) – нечетная.
Периодичность функции.
Периодическая функция ― это функция, повторяющая свои значения через какой-то регулярный интервал, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу фиксированного ненулевого числа (периода функции).
Говоря более формально, функция периодична, если существует такое число T≠0 (период), что на всей области определения функции выполняется равенство f (x + T) = f (x).
Обратная функция.
Функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, если у = f (x) — данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у, х = φ (y), является обратной по отношению к данной функции у = f (x). Например, О. ф. для у = ax + b (а≠0) является х = (у—b)/a,
Сложная функция.
Сложная функция - , функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть y = f(u), а u, в свою очередь, функцией от x, то есть u = ?(x), то y = F(x) является сложной функцией от x, то есть
y = F(x) = f[?(x)].
Предел функции в точке.
Определение предела. Число b – предел функции f(x) при x стремящемся к a, если для каждого положительного числа e можно указать такое положительной число d, что для всех x, отличных от a и удовлетворяющих неравенству |x-a|<d, имеет место неравенство |f(x)-b|<d.
Обозначение предела. Если b есть предел функции f(x) при x стремящемся к a, то записывают это так:
Пределы от арифметических операций над функциями.
Вычисление пределов функции.
Определение непрерывной функции. Функция f(x) непрерывна в точке a, если
Вычисление пределов функций основано на применении следующих основных теорем:
ТЕОРЕМА 1. Предел суммы двух функций при x стремящемся к a равен сумме пределов этих функций , то есть
ТЕОРЕМА 2. Предел произведения двух функций при x стремящемся к a равен произведению пределов этих функций, то есть
ТЕОРЕМА 3. Предел частного двух функций при x стремящемся к a равен частному пределов, если предел знаменателя отличен от нуля, то есть
и равен плюс (минус) бесконечности, если предел знаменателя 0, а предел числителя конечен и отличен от нуля.