13. Теорема Чебышева

При X₁, X₂, …, X_n – последовательность независимых СВ. Для любого >0 и n:

Из теоремы следует, что среднее арифметичес­кое случайных величин при возрастании их числа проявляет свойство устойчивости, т. е. стремится по вероятности к неслучайной величине, которой является среднее арифметическое математических ожиданий этих величин, т.е. вероятность отклонения по абсолютной величине среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их математических ожиданий меньше чем на e при неограниченном возрастании n стремится к 1, т.е. становится практически достоверным событием.

14. Нет

15. Характеристическая функция fX (t) случайной величиныХ определяется как математическое ожидание величины eitX. Это определение для случайных величин, имеющих плотность вероятности pX (x), приводит к формуле .   Например, для случайной величины, имеющей нормальное распределение с параметрами а и s,Характеристическая функция равна

16. Центральная предельная теорема.

Как уже отмечалось, нормальные распределения в настоящее время часто используют в вероятностных моделях в различных прикладных областях. В чем причина такой широкой распространенности этого двухпараметрического семейства распределений? Она проясняется следующей теоремой.

Центральная предельная теорема (для разнораспределенных слагаемых). Пусть X₁, X₂,…, X_n,… - независимые случайные величины с математическими ожиданиями М(X₁), М(X₂),…, М(X_n), … и дисперсиями D(X₁), D(X₂),…, D(X_n), … соответственно. Пусть

Тогда при справедливости некоторых условий, обеспечивающих малость вклада любого из слагаемых в U_n,

17. Нет

18. Свойства математического ожидания. 1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине: М(С) = С 2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ) = С·М(Х) 3) Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: М(Х1 + Х2 + …+ Хn) = М(Х1) + М(Х2) + ... + М(Хn) 4) Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей: М(Х1 · Х2 · ... · Хn) = М(Х1) · М(Х2) · ... · М(Хn)

Свойства дисперсии. 1) Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(С) = 0 2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(СХ) = С2 · D(Х) 3) Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D(Х1 ± Х2 ± ... ± Хn) = D(Х1) + D(Х2) + ... + D(Хn)

19. Нормальное распределение.     Говорят, что случайная величина   нормально распределена или подчиняется закону распределения Гаусса, если ее плотность распределения   имеет вид

(28)

   где a - любое действительное число, а  >0. Смысл параметров a и   будет установлен в дальнейшем (см. §4, п. 2). Исходя из связи между плотностью распределения   и функцией распределения F(x) [см. формулу (22)], имеем

   График функции   симметричен относительно прямой x=a. Несложные исследования показывают, что функция   достигает максимума при x=a, а ее график имеет точки перегиба при   и  . При  график функции асимптотически приближается к оси Ox. Можно показать, что при увеличении   кривая плотности распределения становится более пологой. Наоборот, при уменьшении   график плотности распределения сжимается к оси симметрии. При a=0 осью симметрии является ось Oy. На рис. 11 изображены два графика функции y= . График I соответствует значениям a=0,  =1, а график II - значениям a=0,  =1/2.