Производная сложной функции. Таблица производных. Производная функции задана не явно. Логарифм дифференциала. Производная функции заданной параметрически.
Чтобы найти производную сложной функции, надо найти сначала производную внутренней, а потом умножить на производную внешней.
Таблица производных (см.19)
Рассмотрим
функцию 
Мы
видим, что слева у нас одинокий «игрек»
(функция), а справа – только
«иксы». То
есть, функция 
в
явном виде выражена
через независимую переменную 
.
Рассмотрим
другую функцию: 
Здесь
переменные
и
расположены
«вперемешку». Причем никакими
способами невозможно выразить
«игрек» только через «икс». Что это за
способы? Перенос слагаемых из части в
часть со сменой знака, вынесение за
скобки, перекидывание множителей по
правилу пропорции и др. Перепишите
равенство
и
попробуйте выразить «игрек» в явном
виде: 
.
Можно крутить-вертеть уравнение часами,
но у вас этого не получится.
Разрешите познакомить: – пример неявной функции.
Пример 1
Найти производную от функции, заданной неявно
1)
На первом этапе навешиваем штрихи на
обе части:
2)
Используем правила линейности
производной
3)
Непосредственное дифференцирование.
Как
дифференцировать 
и 
совершенно
понятно. Что делать там, где под штрихами
есть «игреки»?
–
просто до
безобразия, производная
от функции равна её производной: 
.
Как
дифференцировать 
Здесь
у нас сложная
функция.
Почему? Вроде бы под синусом всего одна
буква «игрек». Но, дело в том, что всего
одна буква «игрек» – САМА
ПО СЕБЕ ЯВЛЯЕТСЯ ФУНКЦИЕЙ(см.
определение в начале урока). Таким
образом, синус – внешняя функция,
–
внутренняя функция. Используем правило
дифференцирования сложной функции
:
Произведение
дифференцируем по обычному правилу 
:
Обратите
внимание, что 
–
тоже сложная функция, любой
«игрек с наворотами» – сложная функция:
Само
оформление решения должно выглядеть
примерно так:
Если
есть скобки, то раскрываем их:
4)
В левой части собираем слагаемые, в
которых есть «игрек» со штрихом. В правую
часть – переносим всё остальное:
5)
В левой части выносим производную 
за
скобки:
6) И по правилу пропорции сбрасываем эти скобки в знаменатель правой части:
Производная найдена. Готово.
В параметрической форме функция задается двумя уравнениями. Частенько уравнения записывают не под фигурными скобками, а последовательно:.
Переменная t называется параметром и может принимать значения от «минус бесконечности» до «плюс бесконечности». В простейших случаях есть возможность представить функцию в явном виде.
В более «тяжелых» случаях такой фокус не прокатывает. Но это не беда, потому что для нахождения производной параметрической функции существует формула:
Y’(x)=y’(t)/x’(t)
Сначала находим производную y от t, а потом производную x от t.
Все правила дифференцирования и таблица производных справедливы, естественно, и для буквы t, таким образом, какой-то новизны в самом процессе нахождения производных нет. Просто мысленно замените в таблице все «иксы» на букву «тэ».
Теперь только осталось подставить найденные производные в нашу формулу:
Готово. Производная, как и сама функция, тоже зависит от параметра .