7. Метод Гаусса

Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные.

На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.

На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

8. Линейные пространства. Примеры, определение. Базис линейного пространства, размерности, разложение векторов в пространстве

Пусть V - непустое множество, в котором установлены правила:

     1) любым двум элементам   соответствует третий элемент   называемый суммой элементов   (внутренняя операция);

     2) каждому   и каждому   отвечает определенный элемент   (внешняя операция).

Справедлива теорема, что все линейные пространства одной размерности изоморфны арифметическому пространству данной размерности.

Любой вектор в линейном пространстве можно разложить по базису. Если векторы складывают, то складывают их соответствующие координаты, если умножают, то перемножают их соответствующие координаты. Размерностью пространства называют число, количество векторов входящих в базис.

Любой вектор можно единственным образом разложить по базису a=a_xi+a_yj

Если векторы складывают, то складывают их соответствующие координаты, если умножают, то перемножают их соответствующие координаты.

9. Евклидово пространства. Определение, примеры. Длина вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между векторами. Теорема Пифагора. Ортогональный базис, орнтонормированный базис. Скалярный вектор в ортонормированном базисе.

Евклидово пространство - это линейное пространство, в котором введено скалярное умножение векторов.

Длина вектора равна сумме квадратов его координат.

Неравенство Коши- Буняковского.

Неравенство Коши́ — Буняко́вского связывает норму и скалярное произведение векторов в евклидовом пространстве.

D=(x,y)²-(y,y)(x,x)<=0

(x,y)²<=(x,x)(y,y)

-1<=(x,y)/|x||y|<=1

Выражение, стоящее в середине цепочки последующей строки, то скалярное произведение это и есть по определению cos угла.

Два вектора в пространстве называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Теорема Пифагора.

(x+y, x+y)=(x,x)+(x,y)+(y,x)+(y,y)=(x,x)+(y,y)

|x+y|²=|x|²+|y|²

Квадрат длины суммы равен сумме квадратов длинн.

Неравенство треугольника.

Возьмём любое х, y принадлежащее Eⁿ

(x+y,x+y)=(x,x)+2(x,y)+(y,y)

|(x,y)|<=|x||y|

(x,x)+2(x,y)+(y,y)<=|x|²+2|x||y|+|y|²= (|x|+|y|)²

|x+y|<=|x|+|y|

Система векторов пространства называется ортогональной, если нулевой вектор ортогонален к любому. Ортогональная система векторов называется ортонормированной, если система ортогональна и векторы имеют единичную длину.

Скалярное произведение в ортонормированном базисе равно сумме произведений одноимённых координат. (x,y)=x₁y₁+…+x_ny_n