ВОПРОС1. МНОЖЕСТВО является неопределимым понятием математики как точка, прямая и плоскость. Вы столкнетесь с ним практически во всех науках – математике, физике, химии, истории и т.д. Множество можно описать как совокупность некоторых объектов (элементов множества), объединенных по какому-либо признаку. Множества могут быть конечными (состоящими из конечного числа элементов) и бесконечными. Количество элементов в конечном множестве называется его мощностью и обозначается |А|. О мощности бесконечного множества мы поговорим позднее.

Множество нулевой мощности, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается . Оно введено для удобства: лучше сказать, что множество пусто, чем объявить его несуществующим. В нашем примере множество студентов в аудитории может быть пустым.

Множества, имеющие одинаковое количество элементов, называются равномощными.

Класс всех рассматриваемых множеств называется универсальным множеством или универсумом (обозначается U).

Элементы множества не могут повторяться: А={1,2,1,4,6} не является описанием множества. Сразу возникает вопрос о способах описания (задания) множества.

Мультимножество — в математике, обобщение понятия множества, допускающее включение одного и того же элемента по нескольку раз.

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ МНОЖЕСТВА.

1. диаграммы Эйлера-Венна. Это графическое изображение множеств в универсуме. Универсум изображается прямоугольником, внутри которого располагаются множества, иллюстрирующиеся овалами. Результирующее множество выделяется штриховкой.

U

B

A

2. перечисление элементов. А={а1 а2 а3 а4 а5 а6}. Списком можно задавать только конечные множества. В данном случае последовательность элементов множества в произвольном порядке записывается в фигурных скобках. Множество целых чисел от n до m обозначается Аn..m

ПРИМЕР. D-3.. 3 ={ -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

3. характеристический предикат. А={х| P(x)}. Это описание свойств элементов данного множества, где Р(х)- некоторое логическое выражение с логическим значением. Если результат Р(х) положителен (истинен), то элемент принадлежит множеству.

ПРИМЕР. D={nZ| -4<n<4}

Такие задания могут приводить к противоречиям, таким как парадокс Рассела: класс всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента: А={B| BB}. Имеем: АА, тогда АА и обратно: АА, тогда АА. (Задача о лгунах: я всегда вру.)

4. порождающая процедура. А={х| х=F}. Здесь F – процедура, при работе которой появляются элементы множества.

ПРИМЕР. А={1, 2, 4, 8, 16, …}={n| 1A (nA2nA)}

Такое задание также называется рекурсивным. В курсе общей математики способ носит название математической индукции.

Еще одним примером порождающей процедуры, представляющим собой важный факт теории множеств, являются ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ.

1. объединение множеств. Это множество, состоящее из элементов, которые принадлежат хотя бы одному из этих множеств. АВ={ххА хВ}. Данная операция выполнима и для произвольного количества множеств (в т.ч. бесконечного):

ПРИМЕР. А={2, 1, 5, 7} В={-6, -7, 0, 1, 5} АВ={-7, -6, 0, 1, 2, 5, 7}

2. пересечение множеств. Это множество, элементами которого являются только те элементы, которые присутствуют в каждом из множеств. АВ={ххА хВ}. Эта операция также возможна с произвольным количеством множеств: .

ПРИМЕР. А={2, 1, 5, 7} В={-6, -7, 0, 1, 5} АВ={1, 5}

3. разность двух множеств. Это множество элементов, принадлежащих первому множеству и не являющихся элементами второго. А\В={ххА хВ}.

ПРИМЕР. А={2, 1, 5, 7} В={-6, -7, 0, 1, 5} А\В={2, 7}

4. симметрическая разность двух множеств. Это разность объединения этих множеств с их пересечением. А . В= (АВ)\( АВ) ={х (хА хВ)  (хА хВ)}.

ПРИМЕР. А={2, 1, 5, 7} В={-6, -7, 0, 1, 5} А\В={-7, -6, 0, 2, 7}

5. дополнение. Учитывая, что все множества образуют универсум, то дополнение –это множество элементов универсума, не являющиеся элементами данного множества. ={ххU хA}. В данном случае универсум должен быть либо задан, либо понятен из контекста задания.

вопрос2.Вектором  (кортежем) в линейной алгебре и  дискретной   математике  называют упорядоченный набор элементов. Это не есть определение  вектора , поскольку целесообразнее это понятие считать основным.

Элементы, определяющие вектор, называются координатами или компонентами. Координаты нумеруются слева направо, а их число называется длиной или размерностью вектора. В отличие от элементов множества, координаты вектора могут совпадать. Координаты вектора заключаются в круглые скобки, например . Иногда скобки или запятые опускаются. Часто векторы длины 2 называются упорядоченными парами, длины 3 — тройками и т. д.

ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ.

Рассмотрим два элемента a и b. Если соблюдать порядок расположения этих элементов, то пару (a,b) называют упорядоченной парой. То есть (a,b)<>(b,a). Говорят, что упорядоченная пара определяет вектор длины 2 с координатами a и b.

Если у вектора n координат, то речь идет о n-мерном векторе или упорядоченной n-ке.

Равенство векторов определяется правилом:

(а1, а2, … аn)= (b1, b2, … bm)  n=m и (i=1,2…n) ai=bi , т.е. векторы равны, если у них равны длины и соответствующие координаты.

Прямым (декартовым) произведением двух множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар, в которых первая координата взята из первого множества, а вторая из второго.

Если в декартовом произведении более двух множеств, то множество строится из упорядоченных n-ок длины, равной числу множеств.

Если перемножаемые множества равны, то речь идет о степени множества:

Теорема: мощность прямого произведения множеств равна произведению мощностей перемножаемых множеств.

Доказательство: результатом прямого произведения множеств будет множество векторов, первые элементы которых можно выбрать |А1| способами, вторые координаты - |А2| и т.д., где |Аi| - мощность i-того множества. Таким образом мы имеем |А1|*|А2|*…*|Аn| векторов в полученном множестве.

Следствие.|An|=|A|n.

Вопрос3. Соответствия.

Подмножество прямого произведения множеств называется соответствием: GA1x…xAn.

Элементы первых n-1множеств задают область определения соответствия (прообразы), последнего множества – область значений соответствия (образы). Говорят, что каждому вектору прообразов соответствует образ. Если область определения состоит из всех элементов образующих его множеств, то соответствие всюду определенное (инъективное), иначе частичное. Если область значений состоит из всего последнего множества соответствия, то соответствие сюръективное.

сюръективное

соответствие

взаимооднозначное

соответствие

Соответствие называется функциональным, оно всюду определено, сюръективно и любой прообраз имеет единственный образ. Если в функциональном соответствии каждому образу соответствует единственный прообраз, то это взаимнооднозначное соответствие.

вопрос4.  Функцией называется любое функциональное соответствие между двумя множествами. Если функция  устанавливает соответствие между множествами А и В, то говорят, что функция  имеет вид  (обозначение ). Каждому элементу  из своей области определения функция ставит в соответствие единственный элемент  из области значений. Это записывается в традиционной форме . Элемент  называется аргументом функции, элемент - её значением.

Полностью определённая функция  называется отображением А в В; образ множества А при отображении обозначается . Если при этом , то есть соответствие сюръективно, говорят, что имеет отображение А на В.

Отображение  (матем.)  множества  А в множество В, соответствие, в силу которого каждому элементу х множества А соответствует определённый элемент у = f (x) множества В, называют образом элемента х (элемент х называют прообразом элемента у). 

(инъекция, сюръекция, биекция).

Отображение называется инъекцией, если для любых элементов x1, x2 О X, для которых f(x1) = f(x2) следует, что x1 = x2. (рис. 7)

Сюръекцией (или отображением "на" ) называется отображение, при котором f(X) = Y (рис. 8).

Биекция – это одновременно и сюръекция и инъекция (рис.9).

Пример 9.

1. y = x2, R ® R+ (R+–множество действительных положительных чисел) – сюръекция, но не инъекция, так как разным x соответствуют одинаковые y.

2. , R+ ® R+ – инъекция, но не сюръекция, так как  0Ј y<1 для любых xі 0.

3. Отображение y = 4x+7 числовой оси (-Ґ,Ґ) на себя – биекция.

Если определены отображения f:X® Y и g:Y® Z, то можно задать композицию этих отображений: g ° f :X® Z, значения которой определяются формулой (g° f)(x) = g(f(x)). (рис. 10)

вопрос5. Число элементов множества ^ М называется его мощностью и обозначается |M|. Множества А и В называются эквивалентными, или равномощными, А В, если между их элементами можно установить взаимно-однозначное соответствие.

Множество, содержащее конечное число элементов, называется конечным. Пустое множество является конечным и имеет мощность, равную нулю, т.е.  . Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным.

Бесконечное множество, эквивалентное множеству натуральных чисел N, называется счётным. В противном случае бесконечное множество будетнесчётным. Множество называется бесконечным, если оно равномощно одному из своих собственных подмножеств

вопрос6.Отношения служат одним из способов заданиявзаимосвязи Между элементами множества. Наиболее изученными и чаще всего используемыми являются так называемые унарные и бинарные отношения. Для обозначения отношений мы будем использовать малые буквы греческого алфавита ρ, σ,τ и т.д.

Унарное (одноместное) отношение соответствует наличию какого-то определенного признака (свойства) у элементов множества X(например, признак «быть отрицательным» на множестве Z целых чисел). Все элементы, обладающие выделенным признаком, образуют некоторое подмножество ρ⊂X. Это подмножество ρ и называют унарным отношением на множестве X

Бинарные (двуместные) отношенияиспользуюткакхарактеристикунекоторойвзаимосвязимеждуэлементамимножестваX. ЭлементамибинарногоотношенияявляютсяупорядоченныепарыпрямогопроизведенияX×X, и, следовательно, самобинарноеотношениеможетбытьзаданокакнекотороеподмножествопрямогопроизведенияρ⊂X×X. Так, например, намножествеMвсехстудентовуниверситетаможноввестиследующееотношение «принадлежностикодномуфакультету»: σ⊂M×Mиупорядоченнаяпара(a,b)∈σтогдаиmamiтолькотогда, когдастудентыaиbобучаютсянаодном факультете.

СВОЙСТВА ОТНОШЕНИЙ.

1. рефлексивность. Для любого элемента из А выполняется отношение аRа.

(aA) aRa. Главная диагональ такого отношения содержит только единицы.

2. антирефлексивность. Для любого а из А отношение не выполняется.

(aA) not(aRa). Главная диагональ его матрицы содержит только нули.

3. симметричность. Для любой пары отношение либо выполняется в обе стороны, либо вообще не выполняется.

(a,bA) (aRbbRa). Матрица симметрична относительно главной диагонали.

4. антисимметричность. Для любой пары отношение выполняется в обе стороны только в том случае, когда элементы пары равны.

(a,bA) (aRb=bRaa=b)

5. транзитивность. Для любых двух пар (a,b) и (b,c) выполнимость отношения для них говорит о выполнимости отношения для пары (а,с).

(a,b,cA) (aRb&bRcaRc)

6. полнота (линейность). Любые два элемента из множества А вступают в отношение хотя бы в одну сторону.

(a,bA) (a≠baRbbRa).

вопрос7.Отношение называется отношением эквивалентности (или просто эквивалентностью), если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Примеры:а) Рассмотрим множество треугольников на координатной плоскости, считая, что треугольник задан, если даны координаты его вершин. Два треугольника будем считать равными (конгруэнтными), если при наложении они совпадают, то есть, переведены друг в друга с помощью некоторого перемещения. Равенство является отношением эквивалентности на множестве треугольников.б) Отношение “иметь один и тот же остаток отделения на натуральное число ” на множестве натуральных чисел является отношением эквивалентности.в) Отношение “быть делителем” не является на множестве  отношением эквивалентности. Оно обладает свойствами рефлексивности и транзитивности, но является антисимметричным.

Отношение  называется отношением нестрогого порядка, если оно является рефлексивным, антисимметричным и транзитивным.

Отношение  называется отношением строгого порядка, если оно является антирефлексивным, антисимметричным и транзитивным.

Рефлексивное отношение порядка называется нестрогим порядком.

Антирефлексивное отношение порядка называется строгим порядком.

Полное отношение порядка называетсялинейным порядком.

Не являющееся полным отношение порядка называется частичным порядком.

ОБОЗНАЧЕНИЕ. a<b, a>b, a≤b, a≥b.

вопрос8.  На множестве А определена алгебраическая операция, если каждым двум элементам этого множества, взятым в определенном порядке, однозначным образом поставлен в соответствие некоторый третий элемент из этого же множества.

Примерами алгебраических операций могут служить такие операции как сложение и вычитание целых чисел, сложение и вычитание векторов, матриц, умножение квадратных матриц, векторное умножение векторов и др.

Отметим, что скалярное произведение векторов не может считаться алгебраической операцией, т.к. результатом скалярного произведения будет число, и числа не относятся к множеству векторов, к которому относятся сомножители.

Ассоциативными называют операции, которые можно выполнять в произвольном порядке. По схеме: (x + y) + z = x + (y + z), где + - некоторая операция.

Дистрибутивной называют пару операций, для которых работает схема раскрытия скобок, характерная для сложения и умножения в арифметике:

x * (y + z) = (x * y) + (x * z) и  (x + y) * z = (x * z) + (y * z),  где * и + - некоторые логические операции.

Пусть дано некоторое множество , на котором задана совокупность операций . Структура вида называется алгеброй; множество называется несущим множеством, совокупность операций - сигнатурой, вектор “ ” операций называется типом.

Алгебраической системой <A;_F;_R> называется объект, состоящий из трёх множеств: непустого множества A, множества алгебраических операций _F, определёных на A, и множества отношений _R, определёных на A. Множество A называется носителем алгебраической системы. Если алгебраическая система не содержит операций, она называется моделью, если не содержит отношений, то – алгеброй.