Алгебричний критерій Гурвіца
Для дослідження стійкості САК алгебричним критерієм Гурвіца необхідно записати визначник Гурвіца, який формується на основі характеристичного рівняння за наступними правилами:
по головній діагоналі послідовно в порядку спадання записуються коефіцієнти характеристичного рівняння, починаючи з
;стовпці визначника, починаючи від елементів головної діагоналі, заповнюються вверх за спадаючими індексами, вниз - за зростаючими;
всі інші елементи визначника Гурвіца заповнюються нулями.
Визначник Гурвіца для характеристичного рівняння (12) має вигляд:
|
(13) |
Критерій стійкості за Гурвіцем формується наступним чином: САК є стійкою, коли всі коефіцієнти характеристичного рівняння відмінні від 0 і мають один і той самий знак. Це є необхідна умова. Достатньою умовою є додатність визначника Гурвіца та всіх його мінорів. Мінори отримуються в результаті послідовного викреслення стовпців та рядків.
Так, наприклад, для характеристичного рівняння
|
визначник Гурвіца має наступний вигляд
|
.
Система
буде стійкою, якщо
,
,
,
,
.
|
|
|
.
Критерій Рауса
Складаємо таблицю Рауса на основі коефіцієнтів характеристичного рівняння (12) (табл. 1). Кількість стрічок таблиці Рауса рівна n+1, де n - порядок характеристичного рівняння.
Таблиця 1
Таблиця Рауса
|
Критерій
стійкості Рауса формується наступним
чином: для стійкості САК необхідно і
достатньо, щоб коефіцієнти першого
стовпця таблиці Рауса були додатніми,
тобто,
,
,
, ... ,
.
1.3. Критерій Михайлова
Для
дослідження стійкості САК, застосовуючи
критерій Михайлова, необхідно записати
поліном, який формується на основі
характеристичного рівняння (12) шляхом
підстановки
.
Поліном (характеристичний вектор)
має вигляд
|
Згідно критерію Михайлова для стійкості САК необхідно і достатньо, щоб годограф характеристичного рівняння в координатах (+1, +j) при зміні частоти від 0 до + обходив послідовно проти годинникової стрілки n квадрантів, починаючи з додатньої осі, де n-порядок характеристичного рівняння.
Для прикладу, дослідимо стійкість САК, характеристичне рівняння якої має вигляд
|
Виділимо окремо для даного рівняння дійсну та уявну частини
|
|
|
Прирівняємо
до нуля і знайдемо корені рівнянь
,
.
|
|
Складаємо таблицю
-
0
3,975
4,472
5
U()
10
0
-2
-5
V()
0
0
-1,25
На основі результатів обчислень в осях (+1, +j) будуємо годограф Михайлова, рис. 7. Оскільки годограф Михайлова починається на додатній осі абсцис і послідовно обходить 3 квадранти проти годинникової стрілки, система є стійкою.
Рис. 7. Годограф Михайлова