17. Непрерывные случайные величины. Функция распределения случайной величины, ее свойства (свойства 1-3).

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать любые значения из некоторого заданного интервала, например, время ожидания транспорта, температура воздуха в каком-либо месяце, отклонение фактического размера детали от номинального, и т.д. Интервал, на котором она задана, может быть бесконечным в одну или обе стороны. Функция распределения обладает следующими свойствами: F1) Функция распределения не убывает: ; F2) Существуют пределы и . F3) Функция распределения непрерывна слева: .

18. Функция распределения случайной величины, ее свойства (свойства 4-6). F4) в любой точке разница равна : или, иначе,

F5) Для любой случайной величины имеет место равенство . Если же функция распределения непрерывна (для любого х , или только в точках а и b), то

F6) Случайная величина имеет дискретное распределение тогда и только тогда, когда функция распределения — ступенчатая функция. При этом возможные значения — точки a_i скачков , и — величины скачков.

19. Непрерывные случайные величины. Дифференциальная функция распределения (плотность вероятности).

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать любые значения из некоторого заданного интервала, например, время ожидания транспорта, температура воздуха в каком-либо месяце, отклонение фактического размера детали от номинального, и т.д. Интервал, на котором она задана, может быть бесконечным в одну или обе стороны.

ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ (плотность распределения вероятностей) случайной величины X - ф-ция р (х)такая, что и при любых а < b вероятность события а < X < b равна

20. Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины. Дисперсией дискретной случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания: D ( X ) = M ( X - M ( X ))² . Для вычислений удобнее пользоваться формулой : D ( X ) = M ( X ² ) - ( M ( X )) ². Среднеквадратическим отклонением случайной величины x называется корень квадратный из дисперсии этой величины: Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности: M(X) = x₁ p₁+ x₂ p₂+...+ x_n p_n. Реально на основе данных выборки мы не можем вычислить M(X). Однако эту характеристику можно оценить. В качестве оценки можно использовать среднее арифметическое, то есть M(X) ≈`X. Чем больше объём выборки (число наблюдений), тем точнее эта оценка.

21. Некоторые законы распределения случайных величин: биномиальное распределение.

Случайная величина В = X₁ + X₁ +…+ X_k называется биномиальной. Ясно, что 0<B<k при всех возможных исходах опытов. Чтобы найти распределение В, т.е. вероятности Р(В = а) при а = 0, 1, …, k, достаточно знать р – вероятность наступления рассматриваемого события в каждом из опытов. Действительно, случайное событие В = а осуществляется тогда и только тогда, когда событие А наступает ровно при а испытаниях. Если известны номера всех этих испытаний (т.е. номера в последовательности испытаний), то вероятность одновременного осуществления в а опытах события А и в k-а опытах противоположного ему – это вероятность произведения k независимых событий. Вероятность произведения равна произведению вероятностей, т.е. р^a(1 - р)^k-a. Сколькими способами можно задать номера а испытаний из k? Это - число сочетаний из k элементов по а, рассматриваемое в комбинаторике. Как известно, где символом k! обозначено произведение всех натуральных чисел от 1 до k, т.е. (дополнительно принимают, что 0! = 1). Из сказанного следует, что биномиальное распределение, т.е. распределение биномиальной случайной величины, имеет вид

математическое ожидание и дисперсия выраж. Формулами: