5. Сумма событий. Вероятность суммы несовместимых событий.

Суммой А + В двух событий А и В называют событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий. Например, если из орудия произведены два выстрела и А — попадание при первом выстреле, В — попадание при втором выстреле, то А + В — попадание при первом выстреле, или при втором, или в обоих выстрелах. Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие А + В + С состоит в появлении одного из следующих событий: А, В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С. Пусть события A и В — несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие A, либо событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий: Р (А + В) = Р (А) + Р (В). Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:Р (A1 + A2 + ... + An) = Р (A1) + Р (A2) + ... + Р (An).

6. Условная вероятность. Вероятность произведения зависимых событий.

Условная вероятность.Во многих случаях вероятности появления одних событий зависят от того, произошло или нет другое событие. Например, вероятность своевременного выпуска машины зависит от поставки комплектующих изделий. Если эти изделия уже поставлены, то искомая вероятность будет одна. Если же она определяется до поставки комплектующих, то ее значение, очевидно, будет другим. Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события и обозначается . В тех случаях, когда вероятность события А рассматривается при условии, что произошло два других события (В,С) используется условная вероятность относительно произведения событий(В,С),

Если вероятность появления события В изменяется в зависимости от того, произошло или нет событие А, то такие события называются зависимыми. Вероятность события В при условии, что событие А уже произошло, обозначается . Вероятность произведения зависимых событий определяется формулой .

7.Произведение событий. Произведение независимых событий: Произведением событий А и В называется событие С=А*В , состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие А , и событиеВ , т. е. оба события произошли. Два события А и В называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события А иВ называются зависимыми.

Вероятность произведения двух независимых событий А иВ равна произведению этих вероятностей: .

8.Теорема сложения вероятностей совместимых событий.

Теорема сложения вероятностей совместных событий: Теорема может быть обобщена на любое конечное число совместных событий

При вычислении вероятности суммы большого числа событий А=А1+А2+А3+…+Аn часто бывает проще перейти к вычислению вероятности противоположного события. Для независимых событий получим формулу:

9. Формула полной вероятности. Пусть событие A может произойти только вместе с одним из попарно несовместных событий H1, H2, ..., Hn, образующих полную группу. Тогда, если произошло событие A, то это значит, что произошло одно из попарно несовместных событий H1A, H2A, ..., HnA. Следовательно, Применяя аксиому сложения вероятностей, имеем Эта формула называется формулой полной вероятности. События H1, H2, ..., Hn часто называют «гипотезами».

10. Формула Байеса. Пусть событие В происходит одновременно с одним из n несовместных событий . A1,A2…,An ,Требуется найти вероятность события,Ai если известно, что событие B произошло. На основании теоремы о вероятности произведения двух событий можно написать Откуда

или (формула)

11. Независимые испытания. Формула Бернулли. Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А. Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р(0 < p < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), равна: где q=1-p

Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит: а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз, — находят соответственно по формулам: P_n(0)+P_n(1)+...+Р _n(k-1); P_n(k+1)+P_n(k+2)+...+P_n(n); P_n(k)+P_n(k+1)+...+P_n(n); P_n(0)+P_n(1)+...+P_n(k);