Вопросы к экзамену по теории вероятностей и мат. Статистике,
2 КУРС
Случайные события.
Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.
Алгебра событий.
Основные формулы комбинаторики.
Сумма событий. Вероятность суммы несовместимых событий.
Условная вероятность. Вероятность произведения зависимых событий.
Произведение событий. Вероятность произведения независимых событий.
Теорема сложения вероятностей совместимых событий.
Формула полной вероятности.
Формула Байеса.
Независимые испытания. Формула Бернулли.
Случайные величины. Математическое ожидание дискретной случайной величины.
Свойства математического ожидания дискретной случайной величины.
Отклонение случайной величины.
Дисперсия дискретной случайной величины.
Свойства дисперсии дискретной случайной величины. Среднее квадратическое отклонение.
Непрерывные случайные величины. Функция распределения случайной величины, ее свойства (свойства 1-3).
Функция распределения случайной величины, ее свойства (свойства 4-6).
Непрерывные случайные величины. Дифференциальная функция распределения (плотность вероятности).
Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины.
Некоторые законы распределения случайных величин: биномиальное распределение.
Математическое ожидание, дисперсия случайной величины с биномиальным распределением.
Равномерное распределение случайной величины.
Закон нормального распределения случайной величины.
Закон нормального распределения: вероятность отклонения случайной величины от ее мат.ожидания, центральная предельная теорема.
1.Случайные события
Событием (случайным событием) называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта. События обозначаются буквами А, B, C, D, …Вероятностью события называется численная мера возможности появления события в результате данного опыта. Вероятность события А обозначается Р(А). Событие W, которое обязательно произойдет в результате опыта, называется достоверным: Р(W) = 1. Событие Æ, которое никогда не может произойти в результате опыта, называется невозможным: Р(Æ) = 0. Событие А, о котором нельзя заранее сказать произойдет оно или нет в результате опыта, называется случайным: 0£Р(А)£1.Суммой событий А+В называется событие, состоящее в осуществлении хотя бы одного из событий А или В (безразлично, какого именно, или обоих, если это возможно).
2. Классическое определение вероятности. Свойства вероятности.
Пусть в результате опыта может произойти одно из n элементарных событий, причем событию А благоприятствуют m из них (m£n). Тогда вероятностью события А называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих появлению события А, к общему числу равновозможных элементарных исходов: Р(А)= m/n.
Нормировка вероятности: 0 ≤ p (A) ≤ 1 для любого события A
Вероятность
противоположного события:
Для независимых событий A и B: p (A и B) = p (A) p (B), p (A или B) = p (A) + p (B)
Условная вероятность: p (AB) = p (B) · p (A | B)
Формула полной вероятности: p (B) = p (B | A1) p (A1) + p (B | A2) p (A2) + p (B | A3) p (A3) +… + p (B | Ak) p (Ak)
3.Алгебра событий: . Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в том, что произошло хотя бы одно из событий А и В. Суммой нескольких событий, соответ-ственно, называется событие, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из этих событий. Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошло и событие А, и событие В. Аналогично произведением нескольких событий называется событие, заключающееся в том, что произошли все эти события. Разностью А\B событий А и В называется событие, состоящее в том, что А произошло, а В – нет. События А и В называются совместными, если они могут произойти оба в результате одного опыта. В противном случае (то есть если они не могут произойти одновременно) события называются несовместными.
4.Основные формулы комбинаторики. Комбинаторика изучает количества комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества. При непосредственном вычислении вероятностей часто используют формулы комбинаторики. Приведем наиболее употребительные из них. Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок Pn = n!, где n! = 1 * 2 * 3 ... n. Размещениями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений Amn = n (n - 1)(n - 2) ... (n - m + 1). Сочетаниями называют комбинации, составленные из n различных элементов по m элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Число сочетаний С mn = n! / (m! (n - m)!).
Подчеркнем, что числа размещений, перестановок и сочетаний связаны равенством Amn = PmC mn.