8. Нахождение портфеля с минимальным риском
Пусть заданы характеристики пакета
активов
.
Тогда портфель с минимальным риском
задается вектором
(8-1)
Ожидаемая доходность и риск этого портфеля будут вычисляться по формулам
. (8-2)
где
-
единичные вектор,
-
обратная матрица к матрице
.
Формулы (8-1)-(8-2) верны в случае любой размерности.
В случае размерности пакет - 2, обратная матрица к матрице
имеет вид
Напомним, что произведение матрицы
на вектор x
есть вектор Cx
вычисляемый по правилу
Cкалярное произведение двух двумерных векторов x и y вычисляется по формуле
Пример 8.1.
Пакет состоит из двух активов - .
Характеристики пакета
,
.
Найти портфель с минимальным риском.
Решение
Найдем матрицу обратную к матрице .
Найдем вектор
.
Скалярное произведение
.
Минимальный портфель
.
Его характеристики
Ответ: Портфель с минимальным риском - (0,1), его ожидаемая доходность - 2, а ожидаемый риск - 1.
Задачи
Найти портфель с минимальным риском для пакета активов
8.1. {AMEX, CBS}, 8.2. {EXXON, CBS}, 8.3. {EXXON, AMEX}.
(Характеристики пакетов взять из решения задач 4.1, 4.2, 4.3)
8.2. Сравнить полученные результаты.
9. Нахождение портфеля с заданной доходностью и
минимальным риском
Пусть заданы характеристики пакета активов размерности два
,
и
Тогда портфель с минимальным риском и заданной доходностью E вычисляется по формуле
где
Пример 9.1.
Пакет состоит из двух активов - .
Характеристики пакета , . Найти портфель с минимальным риском и доходностью E = 2.
Решение
Найдем вспомогательные вектора u и v
Найдем вектор Сv,
.
Скалярные произведения векторов Сv и и , Сv и v -
Находим координаты вектора x
Ответ: Портфель с минимальным риском и доходностью E = 2 - (0,1).
Задачи
Найти портфель с минимальным риском и доходностью E = 2 для пакета активов
9.1. {AMEX, CBS}, 9.2. {EXXON, CBS}, 9.3. {EXXON, AMEX}.
(Характеристики пакетов взять из решения задач 4.1, 4.2, 4.3)
Ответы на задачи:
2.1. доходность - 1.428583%, риск - 70.01373%
2.2. доходность - 2.534583%, риск - 112.5877%
2.3. доходность - -0.80092%, риск - 143.0695%
4.1. {AMEX, CBS} -
4.2. {EXXON, CBS} -
4.3. {EXXON, AMEX} -
5.1. x = (0,6; 0,4) пакета составленного из акций PEPSI и MOBIL за 1987 год.
5.2. x = (0,4; 0,6) пакета составленного из акций AMEX и CBS за 1987 год.
5.3. x = (1; 0) пакета составленного из акций EXXON и CBS за 1987 год.
5.4 x = (0,7; 0,3) пакета составленного из акций EXXON и AMEX за 1987 год.