2. Ожидаемые доходности и риск активов

В портфельной теории Марковица значения доходностей актива рассматриваются как значения некоторой дискретной случайной величины. Будем обозначать ее - . Значения этой случайной величины будем обозначать - . Пусть известны ее N значений, т.е. .

Рассмотрим некоторые характеристики дискретной случайной величины.

Математическое ожидание случайной величины есть

, (2.1)

дисперсия есть -

(2.2)

среднеквадратическое отклонение -

. (2.3)

Математическое ожидание часто называют средним значением случайной величины - оно представляет собой число, вокруг которого “группируются” значения случайной величины.

Дисперсия характеризует “степень отклонения” случайной величины от ее среднего значения. Из определения дисперсии видно, что она имеет размерность квадрата размерности величины . Для того чтобы использовать в качестве меры разброса характеристику той же размерности, вместо дисперсии часто используют среднеквадратическое отклонение.

В теории Марковица математическое ожидание есть формальный аналог понятия “ожидаемой доходности актива”, а дисперсия, или, что существу то же самое, стандартное отклонение служит мерой риска актива.

Таким образом, каждому активу (если известен ряд доходностей актива) можно поставить в соответствие - дискретную случайную величину. Вычисляя математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины мы получаем ожидаемую доходность и ожидаемый риск для актива.

Пример 2.1.

Известен ряд ежемесячных доходностей акций AMBRND (в %) за 1987 год. Значения доходностей приведены в ниже. Вычислить ожидаемую доходность и риск.

AMBRND - 17.694, 2.02, -3.713, -8.74, -0.518, 7.163,7.262, 16.877, -3.879, -22.556, -12.61, 19.463

Решение

AMBRND - 17.694, 2.02, -3.713, -8.74, -0.518, 7.163,7.262, 16.877, -3.879, -22.556,

-12.61, 19.463

Ожидаемая доходность акций 1.538583%.

Для вычисления ожидаемого риска составим ряд значений .

16,155417, 0.481417, -5.251583, -10.278583, -2.056583, 5.624417, 5.723417, 15.338417, -5.417583, -24.094583, -14.148583, 17.924417

Возведя в квадрат каждое значение получим ряд значений . Складывая все значения и деля полученный результат на N-1=11, получим 152.4760. Это есть значение ожидаемого риска в %.

Ответ: Ожидаемая доходность 1.53%, ожидаемый риск - 152.47%.

Задачи

Ежемесячные доходности акций AMEX, CBS, EXXON за 1987 год приведены ниже. Найти их ожидаемые доходности и риск.

2.1. AMEX: 20.088, 8.824, 1.02, -8.403, -0.917, 2.044,7.664, 0.678, -3.367, -32.223, -7.254, 2.235

2.2. CBS: 9.941, 15.846, -5.435, 7.553, -0.458, 8.166, 11.325, 3.903, 11.619, -23.533, -9.558, 1.046

2.3. EXXON: 18.004, -4.199, 9.41, 1.02, 1.472, 7.184, 0.938, 6.906, -2.384, -12.339, -12.610, 3.741

3. Коэффициенты ковариации и корреляции

для двух активов

Для инвестирования капитала лишь в актив одного вида необходимо, чтобы из всех имеющихся на рынке активов он бы л наилучший, т.е. его ожидаемый риск (дисперсия) был наименьшим, а ожидаемая доходность наибольшей. Что же должен делать инвестор, если такого актива на финансовом рынке не существует? В этом случае выгоднее выбрать не один актив, а несколько стремясь перераспределить (диверсифицировать) риск с целью уменьшения его количественной оценки. Степень возможности такой диверсификации зависит от характеристики, служащей мерой связи между случайными величинами, представляющими доходности активов. Речь идет о ковариации. Дадим ее определение коэффициента ковариации для двух дискретных случайных величин.

Пусть заданы две дискретные случайные величины своими N значениями , . Обозначим их ожидаемые значения соответственно. Тогда коэффициентом ковариации случайных величин называют величину

. (3.1)

При получаем

.

Отметим, что . На ковариацию оказывает влияние не только связь между случайными величинами, но и их дисперсии. Чтобы выделить меру собственно связи между случайными величинами прибегают к нормированию ковариации. Такая нормированная величина называется коэффициентом корреляции

. (3.2)

Пример 3.1.

Ежемесячные доходности акций PEPSI и MOBIL за 1987 год приведены ниже. Найти коэффициенты ковариации и корреляции.

PEPSI - : 19.712, 6.827, 3.489, -6.569, 9.375, 3.343, 8.333, 0, 2.359. -14.78, -8.487, 8.21

MOBIL - : 3.194, 2.952, -8.178, -17.812, -15.046, 15.926, 9.346, -2.165, 12.389,

-0.682, -0.267, 9.115

Решение

Найдем средние ожидаемые доходности, ожидаемый риск и среднеквадратическое отклонение для каждой акции по формулам (2.1), (2.2), (2.3).

Получим значения

.

Найдем значения ,

: 19.712-2.651, 6.827-2.651, 3.489-2.651, -6.569-2.651, 9.375-2.651, 3.343-2.651, 8.333-2.651, 0-2.651, 2.359-2.651. -14.78-2.651, -8.487-2.651, 8.21-2.651

: 3.194-0.731, 2.952-0.731, -8.178-0.731, -17.812-0.731, -15.046-0.731, 15.926-0.731, 9.346-0.731, -2.165-0.731, 12.389-0.731, -0.682-0.731, -0.267-0.731,

9.115-0.731

: 17.061*2.463, 4.176*2.221, 0.838*-8.909, -9.22* -18.543, 6.724*-15.777, 0.692*15.195, 5.682*8.615, -2.651*-2.896, -0.292*11.658, -17.431* -1.413 , -11.138*-0.998, 5.559*8.384

Cуммируя полученные значения и деля сумму на N-1=12-1=11 получим 1.8464, т.е.

.

Коэффициент корреляции вычисляем по формуле (3.2.)

Ответ: Коэффициент ковариации - 1.8464, корреляции - 0.23957.