4. Пакет активов и способы его задания
Пусть на рынке имеются различные активы и известны статистические данные для каждого актива, представляющие собой временные ряды доходностей за последовательные периоды в прошлом. Напомним, что доходность за период вычисляется исходя из начальной и конечной цены актива и текущего дохода за период (см. пункт 1.). Для каждого актива можно вычислить его характеристики: среднюю ожидаемую доходность (2.1), дисперсию (2.2), среднеквадратическое отклонение (2.3). Для каждой пары активов можно вычислить коэффициенты ковариации (3.1) и корреляции (3.2). Инвестор из имеющихся активов выбирает те, в которые он собирается вложить свой инвестиционный капитал. Такой набор активов имеет и другое название - пакет активов. В пакет активов будут входит различные активы имеющиеся на рынке, характеристики которых известны.
Пусть
- пакет из n
различных активов. Пусть доходность
каждого актива
(i=1,2,...,n) - случайная величина
.
Будем обозначать характеристики этой
случайной величины -
(средняя ожидаемая доходность, ожидаемый
риск, среднеквадратическое отклонение).
Тогда для пакета активов
определяют его характеристики:
вектор средних -
матрица ковариации -
матрица корреляции -
где
- коэффициент ковариации случайных
величин
,
-
коэффициент корреляции случайных
величин
.
Матрицы ковариации и корреляции
симметрические матрица, т. к
.
По диагонали в матрице ковариации стоят
дисперсии, а в матрице корреляции 1.
Итак для задания пакета достаточно
задать вектор средних пакета
и его матрицу ковариации
(корреляции
).
Пример 4.1.
Найти характеристики пакета составленного из акций PEPSI и MOBIL за 1987 год.
Решение
Положим, что актив
- PEPSI, а
- MOBIL. Воспользуемся результатами
примера 3.1. Средняя ожидаемая доходность
акции PEPSI - 2.651, а акции - 0.731. Значит
.
Поэтому вектор средних -
.
Дисперсия для первого актива - 6.7979, для
второго - 8.737769,
коэффициент ковариации - 1.8464, т.е.
.
Используя эти результаты получаем матрицу ковариации пакета
.
Коэффициент корреляции - 0.23957, поэтому матрица корреляции
.
Ответ: матрица корреляции пакета - , матрицу ковариации пакета , вектор средних - .
Задачи
Имеется пакеты акций 4.1. {AMEX, CBS}, 4.2. {EXXON, CBS}, 4.3. {EXXON, AMEX}. Найти характеристики этих пакетов. Доходности за 1987 год приведены ниже.
AMEX: 20.088, 8.824, 1.02, -8.403, -0.917, 2.044,7.664, 0.678, -3.367, -32.223, -7.254, 2.235
CBS: 9.941, 15.846, -5.435, 7.553, -0.458, 8.166, 11.325, 3.903, 11.619, -23.533, -9.558, 1.046
EXXON: 18.004, -4.199, 9.41, 1.02, 1.472, 7.184, 0.938, 6.906, -2.384, -12.339, -12.610, 3.741
5. Портфели и их характеристики
Выбрав тот или иной пакет активов инвестор должен сформировать инвестиционный портфель, т.е. указать части инвестиционного капитала который он собирается вложить в тот или иной актив выбранного пакета акций.
Если весь инвестиционный капитал -
,
а капитал вложенный в актив
-
,
то доля капитала вложенного в i актив -
.
Будем обозначать долю капитала вложенного
в i актив, или как еще говорят вес актива
i, - xi. Тогда имея пакет из
n активов
,
мы можем задать портфель с помощью
вектора, называемого вектором весов,
.
Найдем сумму весов всех портфелей
.
Доходность портфеля заданного с помощью
вектора весов есть случайная величина,
зависящая от доходностей активов из
которых составлен портфель. Обозначим
доходность актива
-
.
Тогда доходность портфеля
задается случайной величиной
.
Вероятностные характеристики случайной
величины
математическое ожидание и дисперсия
вычисляются по формулам
(5-1)
(5-2)
Эти характеристики определяют ожидаемую доходность и ожидаемый риск портфеля соответственно.
Пример 5.1.
Найти характеристики портфеля x = (0,5; 0,5) пакета составленного из акций PEPSI и MOBIL за 1987 год.
Решение
Пакет состоит из двух активов -
.
Положим, что актив
- PEPSI, а
- MOBIL. Тогда (см. пример 3.1) средняя
ожидаемая доходность акции PEPSI -
2.651, а акции MOBIL - 0.731. Значит
.
Дисперсия для первого актива - 6.7979, для
второго - 8.737769, коэффициент ковариации
- 1.8464 т.е.
.
Портфель x =
(0,5; 0,5), т.е.
.
Согласно формуле (5-1), (5-2) имеем
- ожидаемая доходность портфеля,
- ожидаемый риск портфеля.
Ответ: Ожидаемый риск портфеля- 4.8071, ожидаемая доходность портфеля -1.691.
Задачи
Найти характеристики портфеля
5.1. x = (0,6; 0,4) пакета составленного из акций PEPSI и MOBIL за 1987 год.
5.2. x = (0,4; 0,6) пакета составленного из акций AMEX и CBS за 1987 год.
5.3. x = (1; 0) пакета составленного из акций EXXON и CBS за 1987 год.
5.4 x = (0,7; 0,3) пакета составленного из акций EXXON и AMEX за 1987 год.
Доходности за 1987 год приведены ниже.
AMEX: 20.088, 8.824, 1.02, -8.403, -0.917, 2.044,7.664, 0.678, -3.367, -32.223, -7.254, 2.235
CBS: 9.941, 15.846, -5.435, 7.553, -0.458, 8.166, 11.325, 3.903, 11.619, -23.533, -9.558, 1.046
EXXON: 18.004, -4.199, 9.41, 1.02, 1.472, 7.184, 0.938, 6.906, -2.384, -12.339, -12.610, 3.741