10.2. Гидродинамическое подобие

Для выяснения условий, при соблюдении которых уравнения движения будут одинаковы или движения подобны, напишем уравнения Стокса для случая плоского потока в безразмерном виде. В качестве масштаба длины выберем какой-либо характерный размер тела l (хорда крыла, диаметр или радиус трубы и др.), а в качестве масштабов скоростей, давлений, плотностей, температур и пр. — их характерные значения (на бесконечности, средние по объемным, массовым расходам и пр.).

Обозначив безразмерные величины теми же буквами, что и размерные, но с черточкой, произведем следующую замену:

, , ;

,

За масштаб времени принято время, характерное для данного движения, а за масштаб массовых сил, отнесенных к единице массы, — ускорение силы тяжести.

Используя эти выражения можно получить уравнение плоского движения и уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости в безразмерной форме:

(10.1)

Из этой системы следует, что если два потока подобны, т. е. они описываются одинаковыми уравнениями с одинаковыми граничными и начальными условиями, представленными в безразмерном виде, то для них должны быть одинаковы по величине следующие безразмерные величины:

и .

Обычно в теории подобия пользуются комбинациями указанных величин, каждая из которых имеет свое название:

Условие одинаковости чисел подобия обозначается значком idem, т. е. Sh = idem, Re = idem и т. д.

Число Эйлера для сжимаемой жидкости

где скорость звука; ; - показатель адиабаты; ; М — отношение скорости потока к скорости звука, называемое числом Маха.

Следовательно, число Еu для сжимаемой жидкости выражается через k и М. Используя уравнение энергии в безразмерном виде, можно показать, что каждая из этих величин в отдельности должна быть одинакова для двух подобных потоков, т. е. k = idem и М = idem. Таким образом, потоки сжимаемой жидкости будут подобны при следующих условиях:

Sh = idem, Re = idem, Fr = idem, M = idem и k = idem.

Физический смысл чисел подобия можно установить, рассмотрев физическое содержание каждого слагаемого уравнения движения. Из анализа уравнения следует, что число Re выражает отношение сил инерции к силам вязкости, поэтому для большинства технических задач числа Re довольно велики. Число Fr выражает отношение сил инерции к силам тяжести или гравитационным силам. Число Еu характеризует отношение нормальных сил давления к силам инерции, а число Sh — отношение конвективной составляющей сил инерции к локальной составляющей тех же сил.

Если уравнения движения в безразмерном виде (10.1) разделить не на размерный коэффициент при конвективной составляющей сил инерции, как это сделано выше, а на соответствующий коэффициент при локальной составляющей сил инерции, то получим числа подобия в следующем виде:

.

Эти числа подобия характеризуют отношение конвективной составляющей сил инерции, сил тяжести, нормального давления и сил вязкости к локальной составляющей сил инерции. Каждое из них должно соблюдаться при нестационарных движениях, происходящих под действием соответствующих сил.

При изучении движения жидкостей в условиях, близких к невесомости, важное значение приобретают силы поверхностного натяжения. Если представить уравнения (10.1) в одноразмерном виде и выделить размерные коэффициенты, то при наличии сил поверхностного натяжения они будут иметь вид

Чтобы выяснить, каково влияние сил поверхностного натяжения на движение жидкости, необходимо разделить каждое выражение на последнее слагаемое справа. Полученная совокупность чисел подобия характеризует отношение соответствующих сил (локальные и конвективные силы инерции, силы тяжести, нормальные силы давления и силы вязкости) к силам поверхностного натяжения. Эти числа подобия будут равны:

; ; ; и

Число Р₃, характеризующее отношение сил тяжести к силам поверхностного натяжения, используется при моделировании процессов в невесомости и называется числом Боде.

Интересно установить абсолютное значение чисел подобия и пределы их изменения в практических задачах техники.

Число Re, характеризующее отношение сил инерции к силам вязкости, может быть представлено в виде

Если за линейный размер для корабля взять его длину и для самолета — хорду крыла, то числа Re в обоих случаях изменяются в пределах 10⁵—10⁹. В гидротурбинах за характерный линейный размер обычно берут диаметр рабочего колеса. Тогда число Re для турбин изменяется в пределах 10⁴—10⁶.

Подобие нормальных сил давления определяется равенством чисел М и k или при малых скоростях потоков числом Еu. Если скорость звука

где m — молекулярный вес, то число М будет иметь вид

(10.2)

Из формулы (10.2) видно, что при одной и той же скорости движения и мало меняющихся k и g значение числа М пропорционально корню квадратному из величины относительной молекулярной массы среды и обратно пропорционально корню квадратному из абсолютной температуры.

При полете современных самолетов число М = 0,2 3,0, снарядов — М = 2 - 4, ракет - М = 5 - 8. В проточной части турбомашин обычно число М<1, т.е. потоки являются дозвуковыми, лишь в некоторых случаях имеют место потоки с М > 1.

Число Еu характеризует отношение нормальных поверхностных сил давления к силам инерции и равно отношению перепада давлений в двух точках потока к скоростному напору.

В большинстве задач гидродинамики (внешнее обтекание тел, движение жидкостей и газа в трубах и др.) величины давления и скорости в любой точке потока однозначно определяются числом Re. Следовательно, число Еu в этих случаях не является критерием подобия и его значение полностью зависит от других чисел подобия. Например, при движении жидкости в трубах число Еи представляет собой безразмерную величину сопротивления и зависит лишь от числа Re:

.

В некоторых задачах величина перепада задана и не связана однозначно с величиной скоростного напора в любой точке потока. В таких потоках число Еu не зависит от других чисел подобия и является критерием, соблюдение которого обязательно. Примером потока, при моделировании которого числа Ей должны быть строго одинаковы, является поток в проточной части любой турбомашины, в частности гидравлической турбины. В последнем случае величина перепада задана разностью уровней воды в верхнем и нижнем бьефах, и скорость в любой точке потока зависит не только от числа Re, но и от числа Еu.

Число Sh характеризует составляющие инерционных сил, зависящих от времени. При этом может быть два случая:

• нестационарность движения задается граничными условиями (машущее крыло, винт, колесо турбины и пр.);

• нестационарность может являться следствием стационарного обтекания какого-либо тела.

В первом случае число Sh полностью определяется заданными условиями. Так, при исследовании работы винтов за характерное время принимается время одного оборота, т. е. период , за характерный линейный размер - диаметр винта D, тогда число Sh определяет величину, называемую относительной поступью, . Для судовых винтов  лежит в пределах 0,03—3. Во втором случае число Sh является зависимым критерием подобия, т. е. число Sh есть функция числа Re. Так, при стационарном обтекании цилиндра с его поверхности периодически отрываются вихри, частота отрыва которых заранее неизвестна и определяется режимом обтекания, т. е. числом Re.

Число , в отличие от других чисел подобия, явно не зависит от параметров потока. Оно полностью определяется физическими свойствами газов, и зависимость его величины от параметров газа довольно сложна. При некоторых упрощениях можно считать, что k зависит от числа атомов в молекуле. Для одноатомных газов k = 1,66, двухатомных k = 1,4, трехатомных k = 1,27; для молекулы с бесконечным числом атомов k стремится к единице. Значение числа k слабо зависит от температуры. Так, для воздуха при изменении температуры от 0 до 1500°С оно убывает от 1,4 до 1,28. Действительные значения показателя изонтропы для различных газов в зависимости от температуры можно найти в термодинамических таблицах. Влияние числа k на обтекание существенно лишь при числах М, значительно больших единицы.

Число Re приобретает решающее значение при определении структуры потока. Все потоки делятся на ламинарные и турбулентные. Структура потока определяет процесс переноса массы, количества движения и тепла.

Выясним, как величина чисел подобия влияет на величину сопротивления тел. Сопротивление Х любого тела можно представить в виде

г де С_х — безразмерный коэффициент сопротивления; S — характерная площадь.

а) б)

Рис. 10.1. Зависимость коэффициента сопротивления Сх: а- от числаRe; б- от числа М

Зависимость С_х от числа Re для шара показана на рис 10.1,а из которого видно, что число Re существенно влияет на коэффициент сопротивления шара. Аналогичные кривые будут иметь место и для других плохо обтекаемых тел. Число Re, при котором происходит резкое падение сопротивления, называется критическим числом Рейнольдса и обозначается Re_кр.

Число М также существенно влияет на величину сопротивления и на другие аэродинамические характеристики. Для обычных самолетов существует так называемый звуковой барьер, который характеризуется тем, что при приближении скорости самолета к скорости звука коэффициент лобового сопротивления резко возрастает и дальнейшее увеличение скорости сопряжено с необходимостью значительного увеличения мощности двигателя. Число М, при котором где-либо вблизи обтекаемого тела скорость газа достигает местной скорости звука, что приводит к резкому увеличению сопротивления, называется критическим числом М и обозначается М_кр (рис.10.1,б). Значение М_кр для крыла меняется в пределах 0,7—0,8. Для уменьшения лобового сопротивления строят самолеты со стреловидным крылом. При этом М_кр возрастает до 1,5—2,0 и несколько больше.