10. Понятие вариации и ее основные показатели

Вариация признака представляет собой различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности. Она возникает в результате того, что его индивидуальные значения складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае.

Абсолютные показатели вариации характеризуют степень отклонения значений варьирующего признака друг от друга или от средней величины в абсолютном выражении. К ним относятся:

1) Размах вариации – это разность между наибольшим и наименьшим значением признака в изучаемой совокупности

R=x_max- x_min

где x_max – наибольшее значение признака;

x_min – наименьшее значение признака.

Для измерения отклонения каждой варианты от средней величины в ряду распределения или в группировке применяется среднее линейное отклонение (d).

2) Среднее линейное отклонение определяется по формулам:

а) для несгруппированных данных:

б) для сгруппированных данных:

Среднее линейное отклонение показывает, на сколько в среднем каждое значение признака отклоняется от средней величины. Эта величина всегда именованная и измеряется в тех же величинах, в которых даны статистические показатели.

Средние линейные отклонения применяется на практике для анализа состава рабочих, ритмичности производства, равномерности поставок материалов и т.д.

3) Дисперсия определяется по формулам:

а) для несгруппированных данных:

б) для сгруппированных данных:

4) Корень квадратный из дисперсии представляет среднее квадратическое отклонение:

Среднее квадратическое отклонение дает обобщенную характеристику признака совокупности и показывает во сколько раз с среднем, колеблется величина признака совокупности. В зарубежной литературе называется стандартным отклонением и применяется в различных стандартах.

Среднее квадратическое отклонение по величине всегда больше среднего линейного отклонения. Среднее квадратическое отклонение является мерой надежности средней величины: чем оно меньше, тем точнее средняя арифметическая.Для сравнения вариации в разных совокупностях рассчитываются относительные показатели вариации. К ним относятся коэффициент вариации, коэффициент осцилляции и линейный коэффициент вариации (относительное линейное отклонение).

Показатели относительного рассеивания характеризуют меру колеблемости изучаемого признака.

1) коэффициент осцилляции:

Отражает относительнуюколеблемость крайних значений признака вокруг средней.

2) относительное линейное отклонение

Характеризует долю усредненного значения абсолютных отклонений от средней величины.

3) коэффициент вариации – это отношение среднеквадратического отклонения к среднеарифметическому:

18. Виды дисперсий и правило их сложения

В зависимости от того, как представлена статистическая совокупность одним элементом или несколькими, различают следующие виды дисперсии:

• общая дисперсия;

• групповая дисперсия (внутригрупповая);

• средняя из групповых дисперсий;

• межгрупповая дисперсия.

А) Общая дисперсия – оценивает колеблемость признака всех единиц совокупности без исключения

- общая (постоянная) средняя в целом по совокупности;

- объем совокупности.

Для характеристики вариации признаков по группе рассчитывают

Б) Внутригрупповая дисперсия. Она рассчитывает колеблемость признака в каждой отдельной группе и представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признаков от средней по каждой отдельно взятой группе:

гдеj – порядковый номер группы;

- групповые средние;

Внутригрупповая дисперсия отражает колеблемость, которая возникает только за счет причин действующих внутри группы.

где – число единиц в j-ой группе.

В) Межгрупповая дисперсия (дисперсия групповых средних) – характеризует вариацию результативного признака под влиянием только одного фактора положенного в основание группировки:

Правило сложения дисперсий: Общая дисперсия равна сумме средней у внитригрупповой и межгрупповой дисперсии.

10. Вариация альтернативного признака.

Вариация альтернативного признака заключается в наличии или отсутствии изучаемого свойства у единиц совокупности. Количественно вариация альтернативного признака выражается двумя значениями: наличие у единицы изучаемого свойства обозначается единицей (1), а его отсутствие — нулем (0). Долю единиц, обладающих изучаемым признаком, обозначают буквой р, а долю единиц, не обладающих этим признаком — через q . Учитывая, что p + q = 1 (отсюда q = 1 — p), а среднее значение альтернативного признака равно p.

Максимальное значение средний квадрат отклонения (дисперсия) принимает в случае равенства долей, т.е. когда т.е. . Нижняя граница этого показателя равна нулю, что соответствует ситуации, при которой в совокупности отсутствует вариация.