14. Модели тренда временного ряда.

ПО ЛЕКЦИИ:

В общем случае в структуре временного ряда можно выделить три составляющих:

1. Тренд (тенденция);

2. Сезонная составляющая;

3. Случайная составляющая.

Отметим простейшие модели тренда:

1. Линейная функция времени

2. Квадратная парабола времени

3. Экспоненциальная функция времени

_________________________________________________________________________

y_t - некоторый временной ряд (датированная экономическая переменная).

Модели временного ряда предназначены для объяснения (прогноза) уровня ряда, y_t фактором времени, t. Это значит, что экзогенной переменной модели временного ряда служит целочисленная переменная t, а эндогенной переменной является уровень ряда, y_t, представленный в виде некоторой функции независимой переменной t. Переменная y_t служит количественной характеристикой некоторого экономического объекта, поэтому изменение этой переменной во времени определяется факторами (движущими силами), оказывающими воздействие на данный объект с ходом времени, которые можно классифицировать следующим образом:

1) «вековые» воздействия, результирующее влияние которых не меняется;

2) циклические воздействия, влияние которых совершает законченный круг в течение некоторого фиксированного временного промежутка;

3) случайные воздействия, результирующее влияние которых с высокой скоростью меняет направление и интенсивность, индуцируя нерегулярную составляющую в .

1) Обозначим символом T_t – некоторую монотонную функцию переменной t; в модели временного ряда эта функция будет играть роль тенденции. часто используемые типы тенденции (тренда). Вот пять простейших моделей:

T_t = a₀+a₁∙t, T_t =a₀∙t^a1, T_t =a₀+a₁∙ln(t₀+t), T_t=a₀∙exp(a₁∙t) , T_t=a₀∙exp(-t^a1).

Сезонная составляющая и все остальное тут нужно???2) Символом S_t обозначим некоторую периодическую функцию с заданным периодом, p; это значит, что через промежуток времени p значения данной функции повторяются, то есть S_t+p = S_t. Классический пример такой функции

S_t = α+β∙sin(2π∙t/p)+γ∙cos(2π∙t/p), где р= .

Данная функция называется первой гармоникой; в свою очередь, связанная с ней неотрицательная константа A=( β²+ γ²)^1/2 именуется амплитудой и характеризует средний размах значений этой функции. Первая гармоника служит составной частью более сложного классического примера периодической функции с периодом p:

_m

S_t = α +∑{ β_i∙sin(i∙2π∙t/p)+γ_i∙cos(i∙2π∙t/p)}.

Слагаемое с номером i в правой части (2.8) называется i-ой гармоникой; количество слагаемых, m в правой части (2.8) может быть любым, в прямой зависимости от сложности характера изменения во времени данной периодической функции.

Другим примером периодической функции с целочисленным периодом p является функция

S_t = b₀ + b₁∙q₁(t) +…+ b_p-1∙q_p-1(t),

где функции q_i(t), расположенные в правой части, определяются так:

q_i(t)={1, если остаток от деления значения t на величину периода, p равен i; 0 - в других случаях}.

3) Наконец, символом u_t обозначим некоторую хаотично изменяющуюся вокруг нулевого уровня функцию аргумента t; в модели временного ряда эта функция будет играть роль нерегулярной составляющей. Задать функцию u_t в виде формулы невозможно

В итоге комбинации упомянутых выше функций получаются традиционные модели временного ряда y_t:

y_t = T_t + S_t + u_t; y_t = T_t ∙ S_t + u_t .

Первая называется аддитивной моделью временного ряда, а вторая – мультипликативной.

Аддитивная модель используется, когда амплитуда циклической составляющей не зависит от времени, t.

Мультипликативная модель применяется тогда, когда амплитуда циклической составляющей с ходом времени изменяется в том же направлении, что и тенденция (возрастает или убывает). В частном случае в структуре временного ряда может присутствовать лишь какая-то одна составляющая, например, случайная составляющая, u_t.