44. Основные характеристики временного ряда.

Временным рядом (динамическим рядом) называют экономическую переменную , датированную дискретным моментом времени,

(Альтернативное определение) Временной ряд - упорядоченные во времени значения некоторого количественного показателя экономического объекта (например, ВВП):

Основные модели временного ряда:

1. 

2. 

1 - аддитивная модель временного ряда, 2 - мультипликативная модель.

тренд, сезонная составляющая.

Сечения (уровни) ряда как случайные переменные - это значения, датированной переменной в фиксированные моменты времени (Например, при значения называются сечениями временного ряда . Расстояния во времени между сечениями ряда - это модуль разности временных моментов этих сечений . Наличие случайного остатка означает, что сечения (уровни) ряда являются случайными переменными

Математические характеристики.

Математическое ожидание ряда - детерминированная функция времени, вокруг графика которой "вьются" графики реализаций временного ряда.

Замечание: значения при каждом фиксированном являются случайной переменной. Это обстоятельство отметим , где - символ элементарного исхода. На практике экономисту доступна обычно только некоторая реализация временного ряда .

Дисперсия временного ряда

Автоковариационная функция ряда - функция двух аргументов , значения которой имеют смысл ковариаций уровня ряда.

Автокорреляционная функция ряда

44. Стационарный временной ряд. Белый шум.

Исходный временной ряд называется стационарным, если его основные характеристики удовлетворяют 3 требованиям:

1. математическое ожидание ряда является постоянным, т.е. не зависит от времени

2. Дисперсия ряда - некоторая константа

3. Автоковариационная функция зависит не от двух аргументов , а от одного аргумента - расстояние между сечениями.

. Автоковариационная функция стационарного ряда - четная функция аргумента .

Белый шум. Стационарный ряд называется белым шумом, если его математическое ожидание равно 0, а сечения не коррелированы.

- символ Кронекера,

44. Оценка характеристик стационарного временного ряда.

Ряд именуется стационарным, если его ожидаемое значение и дисперсия постоянны (не зависят от переменной времени t), а автоковариационная и автокорреляционная функции являются четными функциями одного аргумента :

1. 

2. 

3. 

4. 

Ряд именуется нестационарным, если хотя бы одно условие 1-4 не выполняется.

основные характеристики временного ряда:

1. Математической ожидание ряда

2. Дисперсия временного ряда

3. Автоковариационная функция ряда

– функция двух аргументов при перестановке которых значения функций не меняются.

4. Автокорреляционная функция ряда

Оценки этих характеристик могут быть найдены по одной реализации этого ряда

1. Оценка математического ожидания:

2. Оценка дисперсии:

3. Оценка автоковариационной функции:

4. Оценка автокорреляционной функции:

44. Частная автокорреляционная функция стационарного временного ряда и алгоритм её оценивания.

Рассмотрим уровни ряда u_t на отрезке [t;t+ τ] (u_t, u_t+1 , … , u_{t+ τ -1,} u_{t+ τ})

Удалим(при помощи уравнения регрессии) влияние членов u_t, … , u_{t+ τ-1} из уровней u_t и u_{t+ τ}. После этого рассмотрим ковариацию остатков u_t и u_{t+ τ}. Это и будет частная автокорреляционная функция в точке τ.

Ϭ_uu^(p)(τ)= (2.10)

На основании 2.10 дается определение частной автокорреляционной функции стационарного ряда

ρ_uu^(p)(τ)=

Частная автокорреляционная функция белого шума имеет уравнение

ρ_ξξ^(p)(τ)= ρ_ξξ(τ)=

Можно обосновать следующий алгоритм оценивания частной автокорреляционной функции ряда по его реализации :

Оценить МНК параметры модели

1.

2. Принять

оценкой ρ_uu^(p)(τ) оценку β_τ.