28. Связь коэффициента детерминации с коэффициентом корреляции эндогенной переменной и её оценки (на примере модели Оукена).

Коэффициент детерминации равен квадрату модуля коэффициента корреляции прогноза и . Он показывает, какая доля дисперсии результативного признака объясняется влиянием независимых переменных.

Док-во:

При условии, что

(для парной регрессии)

Так ; ; и с использованием ковариационных правил, можно доказать, что

(для множественной регрессии аналогично)

28. F-тест качества спецификации эконометрической модели (на примере модели Оукена).

Рассмотрим модель:

(1)

Статистикой критерия гипотезы (2) против альтернативы служит случайная переменная (3)

Здесь – коэффициент детерминации (объясненная регрессорами в рамках обучающей выборки доля эмпирической дисперсии эндогенной переменной ); k – количество регрессоров в модели (1); n – объем обучающей выборки , по которой оценена МНК-модель (1).

Если гипотеза (2) справедлива, а случайный остаток u в модели (1) обладает нормальным законом распределения, случайная переменная (3) имеет распределение Фишера (см. в конце) с количествами степеней свободы и , где (4)

Этапы:

1. Вычислить величину (3);

2. Задаться уровнем значимости и при помощи функции FРАСПОБР Exel при количествах степеней свободы (4) отыскать -квантиль распределения Фишера ;

3. Проверить справедливость неравенства (5)

Если оно справедливо, то гипотеза (2)принимается и можно сделать вывод о неудовлетворительном качестве регрессии, т.е. об отсутствии какой-либо объясняющей способности регрессоров в рамках модели (1).

Если неравенство (5) несправедливо гипотеза (2) отклоняется в пользу альтернативы . Это значит, что качество регрессии удовлетворительное, т.е. регрессоры в рамках линейной модели (1) обладают способностью объяснять значения эндогенной переменной y.

Закон распределения Фишера (F-распределение):

где - стандартное обозначение для гамма-функции Эйлера.

28. Процедура интервального прогнозирования по оценённой линейной эконометрической модели значений эндогенной переменной (на примере модели Оукена).

Основанием для построения такого прогноза служит след теорема: Если выполняются все предпосылки теор Г-М и случайный остаток нормально распределен. Тогда следующая дробь (1), имеющая смысл нормированной ошибки прогноза, распределенная по закону стьюдента с числом степеней свободы m=(n-(k+1)), где — количество оцениваемых коэффициентов модели.

Это теорема позволяет по заданной доверительной вероятности (1-α) рассчитать величину t_кр (двухсторонний квантиль распределения стьюдента) при котором справедливо равенство:

P(| | _кр)=1-α

Освобождаясь от модуля это равенство можно переписать в следующем виде: P( _кр* _кр* )=1-α

Получается что интервал (замкнутый промежуток) , где: , (2) именуемый доверительным интервалом, который накрывает про­гнозируемое значение с принятой доверительной вероятностью . — это критическое значение модуля дроби Стьюдента (дву­сторонняя -квантиль распределения Стьюдента), которую можно рассчитывать по величинам , при помощи функции СТЬЮДРАСПОБР.

Модель Оукена:

(1)

1. В обучающую выборку включим наблюдения за 2001 -2009 года; в контролирующую – наблюдения 2010 года.

2. Оцененная модель:

(2)

Оценки модели вычисляются с помощью функции ЛИНЕЙН для обучающей выборки ( ; ;1;1).

;

3. Вычислим при помощи оцененной модели (2) по значению прогноз величины : .

Далее определим стандартную ошибку прогноза:

, где . Так как модель Оукена – это модель парной регрессии, тo можно вычислить по формуле:

=0,19;

При доверительной вероятности и числе степеней свободы при помощи функции СТЬЮДРАСПОБР находим =2,37 и вычисляем границы доверительного интервала: