Свойства мнк-оценок параметров линейной модели множественной регрессии (лммр) при нормальном векторе случайных остатков: закон распределение оценки .
(Внимание: нумерация формул идёт не по порядку)
Так
как вектор случайных остатков имеет
нормальный закон распределения, то и
нормально распределённым будет случайный
вектор 
.
(8.86)
Компоненты этого вектора имеют
количественные характеристики
Образуем
из этих компонент независимые стандартные
нормально распределённые случайные
переменные 
(8.90)
Рассмотрим
величину
(
- это эффективная линейная несмещенная
оценка, обладающая свойством наименьших
квадратов), она зависит от выборки
, а значит, является случайной переменной.
Начнем
с оценки вектора случайных остатков
(8,79)
Представим
этот вектор как выход линейного
преобразования вектора
.
Для этого подставим в правую часть 8,79
правую часть
и приведем подобные члены:
Здесь
приняли обозначение
Теперь,
в правую часть предпоследнего равенства
подставляем правую часть
и, раскрывая скобки, получаем искомое
преобразование:
(8,81)
В
компактном виде получаем
(8.81’)
С
учетом 8,81 находим значение квадратичной
формы
(
)
(8.82)
С учётом (8.82) и (8.86) получим
(8.89)
С учётом (8.89) и (8.90) получим:
(8.91)
Это
значит, что при нормально распределённом
векторе случайных остатков в схеме
Гаусса-Маркова квадратичная форма
(8.91) является случайной переменной,
распределённой (с точностью до множителя
)
по закону хи-квадрат с количеством
степеней свободы К+1. Ч учётом этого
утверждения, находим, что
(8.92)
В силу (8.92) оценка дисперсии единицы веса тоже имеет с точностью до множителя закон распределения хи-квадрат с количеством степеней свободы n-(k+1):
Свойства мнк-оценок параметров линейной модели множественной регрессии (лммр) при нормальном векторе случайных остатков: закон распределения дроби .
-
стандартная ошибка (оценка среднего
квадратического отклонения) компоненты
.
Докажем, что случайная переменная
(8.107)
имеет закон распределения Стьюдента с количеством степеней свободы n-(k+1), т.е.
(8.108)
Доказательство.
Разделим
числитель и знаменатель дроби (8.107) на
константу
.
Учитывая (из 30-го вопроса), получим:
(8.109)
Здесь
символом
обозначена стандартная нормально
распределённая случайная переменная.
-
дробь Стьюдента с n
степенями свободы
(7.47)
С учётом (7.47) и (8.109) получим представление (8.108)