Формула для вычисления дифференциала n–го порядка

dⁿ f(x) = f⁽ⁿ⁾ (x) dxⁿ .

6)Точка наз-ся точкой локального экстремума, если функ-я дифференциируема в некоторой окрестности этой точки и она принимает в этой точке наибольшее или наименьшее значение для любого х из этой окрестности.

Теорема 2 (необходимое условие экстремума). Если функция дифференцируема в точке x₀ и некоторой ее окрестности и x₀ – точка экстремума, то . Точки, в которых производная функции равна нулю, называются стационарными или точками возможного экстремума. Точки, в которых производная равна нулю или не существует (но сама функция в этих точках определена) называются критическими.

Теорема 3 (первое достаточное условие экстремума). Пусть функция определена и непрерывна в точке x₀ и некоторой ее окрестности . Дифференцируема в этой окрестности, за исключением, быть может самой точки x₀, и точка x₀ – критическая точка для функции (т. е. или не существует). Тогда:

1) если для любой точки х из левой полуокрестности точки х₀ производная положительна ( : ), а для любого х из её правой полуокрестности производная отрицательна ( : ), то x₀ – точка максимума;

2) если для производная , а для , то x₀ – точка минимума

наибольшего значения.

Сформулируем алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x), непрерывной на отрезке:

1. Найти критические точки x₁, x₂, ..., x_n функции .

2. Отобрать все критические точки, принадлежащие отрезку .

3. Вычислить значения функции в этих критических точках и на концах отрезка.

4. Из полученных значений выбрать самое большое и самое малое. Эти числа и будут наибольшим и наименьшим значениями на отрезке .

Кривая, заданная функцией , называется выпуклой вверх на интервале , если все точки кривой лежат ниже любой ее касательной на этом интервале.

Кривая называется выпуклой вниз на интервале , если все точки кривой лежат выше любой ее касательной на этом интервале.

Точкой перегиба называется точка на кривой, где меняется направление её выпуклости.

Теорема 4 (достаточные условия выпуклости графика функции).

Если во всех точках интервала вторая производная функции отрицательна, т. е. , то кривая на этом интервале выпукла вверх; если во всех точках интервала - , то кривая на этом интервале выпукла вниз.

Теорема 4 (достаточные условия выпуклости графика функции).

Если во всех точках интервала вторая производная функции отрицательна, т. е. , то кривая на этом интервале выпукла вверх; если во всех точках интервала - , то кривая на этом интервале выпукла вниз.

Теорема(необходимое условие)

Пусть функция имеет 2-ю производную в т. и т. -тоска перегиба,то f’’( )=0.

Пусть 2-е функции определены и дифференциитуемы в некотрой окрестности т. и или ; тогда существует , тогда существует .

Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем

	(1)