Линейная алгебра и геометрия

1) Матрицей размера mxn -таблица состоящая из множества М. Элементы множества М называются элементами матрицы,обозначаются большими латинсими буквами. Матрицы равны если они одинаковых размеров. Матрицей строкой называют матрицу, состоящую из одной строки. Матрицей столбцом - из одного столбца. Матрица, у которой количество столбцов равно количеству строк, называется квадратной матрице n-ого порядка. Если элементы стоящие по одну сторону диагоналей =0, то мат. Треугольная. Если все недиагональные элементы матрицы равны нулю, то матрицу называют диагональной. Если у диагональной матрицы n-ого порядка на главной диагонали все элементы равны 1, то матрица называется единичной и обозначается Е. Матрица любого размера, все элементы которой равны 0, называется нулевой. мат.в каждой строке кот. как мин. На 1-н 0 больше чем в предыдущ.- степенчатая.

Операции на матрицами: 1)Умножение матрицы на число. Для того, чтобы умножить матрицу на число необходимо умножить на это число каждый элемент матрицы. 2)Сложение 2-х матриц: условие - складывать можно только матрицы одинакового размера. 3)Вычитание. 4)Умножение 2-х матриц: умножение А на В возможно тогда и только тогда, когда число столбцов А равно числу строк В; произведением матрицы А размера mk на матрицу В размера kn называется матрица С размера mn, каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-ого столбца матрицы В. 5)Транспонирование. транспонирование-операция, в результате которой строчки и столбцы матрицы меняются местами.

Свойства слож.:1)коммутативное(А+В=В+А), 2)ассоциативное((А+В)+С=А+(В+С)), 3)дистрибутивное(R*(A+B)=RA+RB), 4)А+(-А)=0,

Свойства умн.:1)А*В не= В*А, 2)А*(В*С)=(А*В)*С, 3)Е*А=А

)Перестоновочные- если A*B=B*A. Элементарные действия: 1. Вычеркивания нулевой строки. 2. Умножение строки на отличное от нуля число. 3. Сложения строк. РАНГ-число не нулевых строк.

2) . Определителем матрицы 1-го порядка А=(а11) является единственный элемент этой матрицы. Определителем 2-го порядка называется число, характеризующее матрицу 2-го порядка, которое находится по следующему правилу: из произведений элементов главной диагонали вычитается произведение элементов второй диагонали матрицы А. Определителем матрицы 3-го порядка это число равное сумме произведений элементов любой строки (столбца) на алгебраические дополнения элементов этой строки ((-1)^ikA_ik).

Свойства:1)строки и столбцы опред-й равноправны; 2)если в опред-е строки и столбцы с одинаков-и номерами поменять местами, то величина опред-я не изменится (транспони-я мат.); 3)если в опред-е поменять местами 2-е любые строки(столбцы), то знак опрел-я меняется на противополож-й; 4) опред-ь имеющий 0-ю строку =0; 5) опред-ь имеющий 2-е равные строки=0; 6)опред-ь имеющий 2-е пропорциона-е строки =0(из любой строки можно выносить общий множ.);

7)к строке опред-я можно прибавлять другую строку *на число; 8) алгебр-я сумма произведений элементов 1-й строки и алгеб-е дополнение другой =0.

Если существует квадратная матрица X той же размерности, что и матрица A,  

удовлетворяющая соотношениям A·X = X·A = I,  то матрица A называется обратимой,

а матрица X называется обратной к матрице A и обозначается A⁻¹.

Всякая невырожденная матрица A имеет единственную обратную матрицу

Обратная мат. Обозначается А^-1. АА^-1=А^-1А=Е

Порядок операций при вычислении обратной матрицы:

   

   

   

   

Минор-это опред-ь порядка, полученный вычеркиванием строки(i) и столбца (j) заданного опред-м на пересечении, кот. он стоит.

Алгебраическим дополнением наз-ся минор взятый либо со знаком+ i+j-четная,- i+j-нечетная.

Условие существования обратной матрицы. Для того, чтобы квадратная матрица A имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной, т.е. detA ≠ 0 .