Формула координаты середины отрезка

Плоскость и прямая в пространстве

Назовем нормалью к плоскости вектор, перпендикулярный к этой плоскости. Обозначают нормаль 

Определение. Уравнением поверхности в пространстве   называется такое уравнение между переменными   которому удовлетворяют координаты всех точек данной поверхности и не удовлетворяют координаты точек, не лежащих на этой поверхности.

Пусть точки   и   лежат на плоскости (рис. 11). Тогда   и, значит, их скалярное произведение равно нулю:   – это уравнение плоскости, проходящей через точку   перпендикулярно вектору  .

Укажем теперь основные уравнения плоскостей:

1)  – уравнение плоскости, проходящей через точку   перпендикулярно вектору  ;

2)   – общее уравнение плоскости (  – координаты нормали плоскости);

3)   – уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки  ,   и  ;

4)   – уравнение плоскости в отрезках, где   -величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях   и   соответственно.

угол между двумя плоскостями, который равен углу между нормалями к плоскостям ( или дополняет этот последний до  )

.

Расстояние от точки   до плоскости   находят по формуле

.

Основные уравнения прямых в пространстве:

1)  - канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку   параллельно вектору  ;

2)  – уравнения прямой в пространстве, проходящей через две точки  ,  , получают из канонических, считая направляющим вектором прямой вектор , лежащий на прямой;

3)   – общие уравнения прямой задаются уравнениями двух плоскостей, объединенных в систему, а так как такая система имеет бесчисленное множество решений, то их совокупность геометрически и представляет собой прямую.

 Взаимное расположение двух прямых в пространстве определяется расположением их направляющих векторов.

в) угол между прямыми   и   равен углу между направляющими векторами этих прямых, т.е. 

В заключение темы рассмотрим взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве. Ясно, что прямая   параллельна плоскости   тогда и только тогда, когда направляющий вектор прямой   перпендикулярен нормали   плоскости (рис. 16), т.е. если   или  .

Прямая перпендикулярна плоскости при условии   т.е.

.

Угол между прямой и плоскостью находят по формуле

8.Кривые второго порядка: эллипс, гипербола, парабола: определение, канонические уравнения, свойства, способ построения.

Кривой второго порядка называется линия на плоскости, кото­рая в некоторой системе координат определяется уравнением

где А, В, С, D, E, F - вещественные коэффициенты, причем

Если   , то эллипс;

Если   , то гипербола;

Если   , то парабола.

В процессе исследования кривых 2-го порядка, уравнение которых записано в общем виде, полезна "процедура выделения полного квадрата".

Гипербола. Гиперболой называется геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух данных фиксированных точек (фокусов) гиперболы есть одна и та же постоянная величина. Предполагается, что эта постоянная величина не равна нулю и меньше, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение:

Здесь a - действительная полуось гиперболы, b - мнимая полуось гиперболы.

Если 2c - расстояние между фокусами гиперболы, то между a, b и c существует соотношение

a² + b² = c².

При b = a гипербола называется равносторонней. Уравнение равносторонней гиперболы имеет вид

x² - y² = a².

Фокусы гиперболы лежат на ее действительной оси.

Эксцентриситетом гиперболы называется отношение расстояния между фокусами этой гиперболы к длине ее действительной оси.

Асимптоты гиперболы - две прямые, определяемые уравнениями

Эллипс. Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек (фокусов) есть для всех точек эллипса одна и та же постоянная величина (эта постоянная величина должна быть больше, чем расстояние между фокусами).

Каноническое уравнение:

где a - большая полуось эллипса, b - малая полуось эллипса. Если 2c - расстояние между фокусами, то между a, b и c (если a > b) существует соотношение

a² - b² = c².

Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния между фокусами этого эллипса к длине его большой оси

У эллипса эксцентриситет e < 1 (так как c < a), а его фокусы лежат на большой оси.