Резонаторы со сферическими отражателями.
Резонатор, образованный двумя сферическими отражателями одинаковой кривизны, отстоящими друг от друга на расстояние радиуса кривизны, являются конфокальными, т.к. фокусные точки этих отражателей совпадают.
Внутри резонатора поле— стоячая волна, вне резонатора – бегущая (быстро затухает).
рис. 1.5. Поверхности постоянной фазы и кривая изменения поперечного поля у отражателя для типа колебаний ТЕМ 00 конфокального резонатора (сечение в конф. резонаторе)
Поле в резонаторе, как внутри, так и на поверхности зеркал, м.б. рассчитано аналитически и описано через полиномы Эрмита.
Расчет сферических зеркальных резонаторов с b≠R (не конфокальных) можно провести в терминах конфокального резонатора.
Качество резонатора определяется его потерями. В зависимости от количества потерь, различают устойчивые и неустойчивые резонаторы. При больших потерях, когда усиление за один период меньше кол-ва потерянного излучения, резонатор неустойчив. В терминах лучевой оптики это означает, что лучи не фокусируются в системе на отражателях, а выходят за пределы резонатора.
Для резонаторов, состоящих из зеркал с неравными радиусами R1 и R2, размеры пятен на каждом отражателе различны. При изменении расстояния между отражателями b, обуславливающее увеличение пятен, происходит приближение к области больших потерь. При R1 <b< R2 или b> R1 + R2 размеры пятен становятся мнимыми. Это означает, что дифракционные потери в резонаторной системе весьма большие.
Можно показать, что области с большими дифракционными потерями, т.е. неустойчивыми модами, определяются следующими неравенствами:
Приведенная диаграмма позволяет оценить устойчивость резонатора с произвольными сферическими зеркалами.
рис. 1.6. Диаграмма устойчивости резонаторов
В неустойчивых резонаторах фокусировка отраженных пучков отсутствует, и т.о., при каждом отражении значительная доля энергии выходит из резонатора
Симметричный конфокальный резонатор (R1 = R2 = b) точка А.
Резонатор с плоскими зеркалами (R1 = R2 = ∞) — точка В.
Полуконфокальный резонатор, имеющий длину, равную b-R/2, изображается точкой, лежащей глубоко в области малых потерь, поэтому такие резонаторы являются весьма устойчивыми, имеют малые потери и не зависят от изменения расстояния между зеркалами.
Задача нахождения мод резонатора решалась различными методами. Один из них состоит в отыскании простых решений уравнений Максвелла типа узких волновых пучков. Форма поверхностей зеркал при этом подбирается таким образом, чтобы отражатель пересекал пучок точно по волновому фронту, т.е. в каждой точке перпендикулярно локальному направлению распространения пучка. В результате обеспечивается преобразование волны при отражении строго в себя саму. Другой метод базируется на использовании принципа Гюйгенса в скалярной форме для вычисления поля на одном из зеркал, вызванного излучением с поверхности другого. Точно так же вычисляется поле на втором зеркале и затем приравнивается, с точностью до константы, к первоначальному полю на нем. Эта процедура приводит к интегральному уравнению, решения которого определяют моды резонатора и их дифракционные потери. Метод удобен для проведения расчетов на вычислительных машинах в тех случаях, когда отсутствуют аналитические методы. Оба метода дают совпадающие результаты.