Числовые характеристики статистического распределения.
Аналогичные числовые характеристики существуют и для статистических распределений. Каждой числовой характеристике случайной величины соответствует ее статистическая аналогия. Для основной характеристики положения — математического ожидания случайной величины – такой является среднее арифметическое наблюденных значений случайной величины:
,
(7.4.1)
где 
—
случайной величины, наблюденное 
-м
опыте, 
-
число опытов.
Подобные статистические аналогии существуют для всех числовых характеристик. Условимся в дальнейшем эти статистические аналогии обозначать теми же буквами, что и соответствующие числовые характеристики, но и снабжать их значком *.
Рассмотрим,
например, дисперсию случайной величины.
Она представляет собой математическое
ожидание случайной величины 
:
.
(7.4.2)
Если в этом выражении заменить математическое ожидание его статистической аналогией – средним арифметическим, мы получим статистическую дисперсию случайной величины :
,
(7.4.3)
где 
-
статистическое среднее.
Аналогично определяются статистические начальные и центральные моменты любых порядков:
(7.4.4)
Критерий согласия Пирсона χ2 – один из основных, который можно представить как сумму отношений квадратов расхождений между теоретическими (fТ) и эмпирическими (f) частотами к теоретическим частотам:
k–число групп, на которые разбито эмпирическое распределение,
fi–наблюдаемая частота признака в i-й группе,
fT–теоретическая частота.
Для распределения χ2 составлены таблицы, где указано критическое значение критерия согласия χ2 для выбранного уровня значимости α и степеней свободы df (или ν). Уровень значимости α – вероятность ошибочного отклонения выдвинутой гипотезы, т.е. вероятность того, что будет отвергнута правильная гипотеза. Р – статистическая достоверность принятия верной гипотезы. В статистике чаще всего пользуются тремя уровнями значимости:
α=0,10, тогда Р=0,90 (в 10 случаях из 100)
α=0,05, тогда Р=0,95 ( в 5 случаях из 100)
α=0,01, тогда Р=0,99 (в 1 случае из 100) может быть отвергнута правильная гипотеза
Число степеней свободы df определяется как число групп в ряду распределения минус число связей: df = k –z. Под числом связей понимается число показателей эмпирического ряда, использованных при вычислении теоретических частот, т.е. показателей, связывающих эмпирические и теоретические частоты. Например, при выравнивании по кривой нормального распределения имеется три связи. Поэтому при выравнивании покривой нормального распределения число степеней свободы определяется как df =k–3. Для оценки существенности, расчетное значение сравнивается с табличным χ2табл
При полном совпадении теоретического и эмпирического распределений χ2=0, в противном случае χ2>0. Если χ2расч> χ2табл, то при заданном уровне значимости и числе степеней свободы гипотезу о несущественности (случайности) расхождений отклоняем. В случае, если χ2расч< χ2табл то гипотезу принимаем и с вероятностью Р=(1-α) можно утверждать, что расхождение между теоретическими и эмпирическими частотами случайно.
Критерий Колмогорова L основан на определении максимального расхождения между накопленными частотами и частостями эмпирических и теоретических распределений:
или 
, где D и d – соответственно максимальная
разность между
накопленными частотами и
накопленными частостями эмпирического
и теоретического рядов распределений;
N – число
единиц совокупности. Рассчитав значение
L,
по таблице Р(L)
определяют вероятность, с которой можно
утверждать, что отклонения эмпирических
частот от теоретических случайны.
Вероятность Р(l) может изменяться от 0
до 1. При Р(L)=1
происходит полное совпадение частот,
Р(L)=0
– полное расхождение. Если L
принимает значения до 0,3, то Р(L)=1.
Основное условие использования критерия
Колмогорова – достаточно большое число
наблюдений.