29. Функция одного случайного аргумента.

предварительно заметим, что далее вместо того, чтобы говорить «закон распределения вероятностей», мы будем часто говорить кратко — «распределение».

Если каждому возможному значению случайной вели­чины X соответствует одно возможное значение случайной величины К, то К называют функцией случайного аргумен­та X:

Далее показано, как найти распределение функции по известному распределению дискретного н непрерывного аргумента.

a) Пусть аргумент X—дискретная случайная величина.

       Если различным возможным значениям аргумента X соответствуют различные возможные значения функ­ции Y, то вероятности соответствующих значений X и Y между собой равны.

 Б) Если  разным  значениям  X   могут  соответствовать  одинаковые  значения  Y ,  то  вероятности  значений  аргумента,  при  которых  функция  принимает  одно  и  то  же  значение,  складываются. 

30. Функции двух случайных величин

Задача определения закона распределения функции нескольких случайных аргументов значительно сложнее аналогичной задачи для функции одного аргумента. Здесь мы изложим общий метод решения этой задачи для наиболее простого случая функции двух аргументов.

Имеется система двух непрерывных случайных величин   с плотностью распределения  . Случайная величина   связана с   и   функциональной зависимостью:

.

Требуется найти закон распределения величины  .

Для решения задачи воспользуемся геометрической интерпретацией аналогичной той, которую мы применяли в случае одного аргумента. Функция   изобразится уже не кривой, а поверхностью (рис. 12.4.1).

Рис. 12.4.1.

Найдем функцию распределения величины  :

.                          (12.4.1)

Проведем плоскость  , параллельную плоскости  , на расстоянии   от нее. Эта плоскость пересечет поверхность   по некоторой кривой  . Спроектируем кривую   на плоскость  . Эта проекция, уравнение которой  , разделит плоскость   на две области; для одной из них высота поверхности над плоскостью   будет меньше, а для другой - больше  . Обозначим   ту область, для которой эта высота меньше  . Чтобы выполнялось неравенство (12.4.1), случайная точка  , очевидно, должна попасть в область  ; следовательно,

.                (12.4.2)

В выражение (12.4.2) величина   входит неявно, через пределы интегрирования.

Дифференцируя   по  , получим плотность распределения величины  :

.

31. Законом распределения двумерной дискретной случайной величины называется множество всевозможных ее значений  с указанием вероятностей   одновременного выполнения равенств   и  . Обычно этот закон записывают в виде таблицы

			…
			…
			…
…	…	…	…	…
			…

где  ,  . Отметим, что сумма всех вероятностей, указанных в таблице, равна 1:  . Как видно из таблицы, составляющая  принимает значения  . При этом . (1) Поскольку события  , из которых составлена сумма в правой части равенства (1), попарно не совместны, то , то есть сумме всех вероятностей, указанных в  ой строке. Следовательно, закон распеределения составляющей  имеет вид

			…
			…

Аналогичным образом,   есть все значения составляющей  ,  сумме всех вероятностей, стоящих в  ом столбце. Следовательно, закон распределения составляющей   имеет вид

			…
			…

Математическое ожидание и дисперсия составляющих   и   находятся по формулам     . Предположим, что составляющая   приняла значение  . Обозначим через   условную вероятность того, что  примет значение   при условии, что  . Очевидно,  , и тем самым  . Под условным законом распределения   при условии, что  , понимают закон распределения

			…
			…

Аналогично, условная вероятность  того, что   примет значение  при условии, что  , находится по формуле и соответствующий условный закон распределения имеет вид

			…
			…

32. Статистическое распределение выборки:

x1 — наблюдается n1 раз

x2 — n2

xk — nk

xi	x1	x2	……	xk
P*i	n1	n2	……	nk

ni - частота

-относительная частота

Замечание: В теории вероятности под распределениями понимают соответствие между возможными значениями случ.величины и их вер-тями. А в мат.статистике — соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами.

Эмпирическая функция распределения:

nx-число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака варианты меньше, чем х

n-общее число наблюдений (объём выборки)

x<x

-частота события, когда x<x

Эмперической функцией распределения случ.величины x наз.функцию F*ξ(x), определяющую для каждого значения x относительную частоту событий:

Недостатки:

Невысокая наглядность (визуально сложно определить закон распределения сл.величины x)

Гистограмма и полигон относит.частот:

Полигоном частот наз.ломаную, отрезки к-ой соединяют xi и ni.

Площадь гистограммы частот =сумме всех частот, то есть объёму выборки.