21. Функция распределения случайной величины

того, что случайная величина X примет значение, меньшее, чем х, где х — произвольное действительное число: F(x) = Р{Х ≤ х} =   F(x) — неубывающая функция; О ≤ F(x) ≤ 1. Ф. р. в. полностью задает случайную величину. Если X — дискретная случайная величина, принимающая значения х1, x2... с вероятностями p1,p2,..., то ее функция распределения будет: F(x) = ∑рk; она разрывна и возрастает скачками в точках хk. Если X — непрерывная случайная величина, то у нее существует платность распределения вероятностей f(x) и Ф. р. в. будет:

Если x - дискретная случайная величина, принимающая значения x1 < x2 < … < xi < … с вероятностями p1 < p2 < … < pi < …, то таблица вида

x1	x2	…	xi	…
p1	p2	…	pi	…

называется распределением дискретной случайной величины.

Функция распределения случайной величины, с таким распределением, имеет вид

У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая.

22. Пусть имеется непрерывная случайная величина   с функцией распределения   , которую мы предположим непрерывной и дифференцируемой. Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на участок от   до  :

,

т.е. приращение функции распределения на этом участке. Рассмотрим отношение этой вероятности к длине участка, т.е. среднюю вероятность, приходящуюся на единицу длины на этом участке, и будем приближать   к нулю. В пределе получим производную от функции распределения:

.      (5.4.1)

Введем обозначение:

.           (5.4.2)

Функция   - производная функции распределения – характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (иначе – «плотность вероятности») непрерывной случайной величины  .

Термины «плотность распределения», «плотность вероятности» становятся особенно наглядными при пользовании механической интерпретацией распределения; в этой интерпретации функция   буквально характеризует плотность распределения масс по оси абсцисс (так называемую «линейную плотность»). Кривая, изображающая плотность распределения случайной величины, называется кривой распределения (рис. 5.4.1).

Плотность распределения, так же как и функция распределения, есть одна из форм закона распределения. В противоположность функции распределения эта форма не является универсальной: она существует только для непрерывных случайных величин.

23. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством

 

Где f ( x ) дифференциальная функция. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.

В частности, если возможные значения принадлежат интервалу ( a , b ), то

О. Модой М0(Х) непрерывной случайной величины называют то ее возможное значение, которому соответствует максимум дифференциальной функции.

О.Медианой Me(X) непрерывной случайной величины называют то ее возможное значение, которое определяется равенством

Р ( Х < Me(X) )=P(X> Me(X)).

О.Дисперсия непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством

Или равносильным равенством

В частности, если возможные значения принадлежат интервалу ( a , b ), то

24. Свойства математического ожидания. 1) Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине: М(С) = С 2) Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ) = С·М(Х) 3) Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: М(Х1 + Х2 + …+ Хn) = М(Х1) + М(Х2) + ... + М(Хn) 4) Математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей: М(Х1 · Х2 · ... · Хn) = М(Х1) · М(Х2) · ... · М(Хn)

Свойства дисперсии. 1) Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(С) = 0 2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(СХ) = С2 · D(Х) 3) Дисперсия суммы (разности) независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D(Х1 ± Х2 ± ... ± Хn) = D(Х1) + D(Х2) + ... + D(Хn)

25. Нормальное распределение.     Говорят, что случайная величина   нормально распределена или подчиняется закону распределения Гаусса, если ее плотность распределения   имеет вид

(28)

   где a - любое действительное число, а  >0. Смысл параметров a и   будет установлен в дальнейшем (см. §4, п. 2). Исходя из связи между плотностью распределения   и функцией распределения F(x) [см. формулу (22)], имеем

   График функции   симметричен относительно прямой x=a. Несложные исследования показывают, что функция   достигает максимума при x=a, а ее график имеет точки перегиба при   и  . При  график функции асимптотически приближается к оси Ox. Можно показать, что при увеличении   кривая плотности распределения становится более пологой. Наоборот, при уменьшении   график плотности распределения сжимается к оси симметрии. При a=0 осью симметрии является ось Oy. На рис. 11 изображены два графика функции y= . График I соответствует значениям a=0,  =1, а график II - значениям a=0,  =1/2.