Механіка Лагранжа

Найпростіше закон збереження імпульсу формулюється й доводиться в Лагранжевій механіці.

Ізотропність простору значить, що функція Лагранжа L не залежить від вибору системи координат. Виберемо будь-яку вісь й візьмемо за узагальнену координату кут повороту   навколо цієї осі. Незалежність функції Лагранжа від цього кута означає

,

тобто момент сили дорівнює нулю.

Тоді, Згідно з рівнянням Лагранжа

тобто часова похідна від моменту імпульсу дорівнює нулю. Сам момент імпульсу тоді є інтегралом руху.

.

Хвильове́ рівня́ння 

Хвильове́ рівня́ння — рівняння, яке описує розповсюдження хвиль у просторі.

Хвильове рівняння є зазвичай рівняння другого порядку у часткових похідних гіперболічного типу, хоча існують хвильові рівняння інших порядків та інших типів.

У одномірному випадку хвильове рівняння записується.

,

де u — невідома функція, яка описує хвилю, x — просторова координата, t — час, s — фазова швидкість поширення хвилі.

Розв'язки

Хвильові рівняння мають багато можливих розв'язків. Реалізація того чи іншого із них залежить від граничних та початкових умов: від того, як хвиля народилася, які перешкоди зустрічає на своєму шляху тощо.

Загальний розв'язок хвильового рівняння подається суперпозицією функцій типу

,

де   — амплітуда хвилі, k — хвильове число, ω — циклічна частота,   — фаза хвилі.

Хвильове число та частота зв'язані між собою дисперсійним співвідношенням