Сочетания
Сочетаниями из n элементов по m элементов называются комбинации, составленные из данных n элементов по m элементов, которые различаются хотя бы одним элементом (отличие сочетаний от размещений в том, что в сочетаниях не учитывается порядок элементов).
Число сочетаний без повторений (n различных элементов, взятых по m) вычисляется по формуле:
|
|
Число сочетаний c повторениями (n элементов, взятых по m, где элементы в наборе могут повторяться) вычисляется по формуле:
|
|
Пример. Возьмем буквы Б, А, Р. Какие сочетания из этих букв, взятых по две, можно получить? Сколько таких наборов получится, если: 1) буквы в наборе не повторяются; 2) можно брать по два одинаковые буквы.
Решение.
Получатся наборы: БА (БА и АБ - один и тот же набор), АР и РБ
По
формуле (3.5) получаем:
наборов.
Получатся наборы: ББ, БА, БР, АА, АР, РР.
По
формуле (3.6) получаем:
наборов.
Пример. Из 20 учащихся надо выбрать двух дежурных. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Надо выбрать двух человек из 20. Ясно, что от порядка выбора ничего не зависит, то есть Иванов-Петров или Петров-Иванов - это одна и та же пара дежурных. Следовательно, это будут сочетания из 20 по 2.
По
формуле (3.5) получаем: 
способов.
Пример. В хлебном отделе имеются булки белого и черного хлеба. Сколькими способами можно купить 6 булок хлеба?
Решение. Обозначая
булки белого и черного хлеба буквами Б
и Ч, составим несколько выборок: ББББББ,
ББЧЧББ, ЧЧЧЧЧБ, ... Состав меняется от
выборки к выборке, порядок элементов
несущественен, значит это - сочетания
с повторениями из 2 по 6. По формуле (3.6)
получаем
способов.
Cделаем проверку и выпишем все варианты покупки: ББББББ, БББББЧ, ББББЧЧ, БББЧЧЧ, ББЧЧЧЧ, БЧЧЧЧЧ, ЧЧЧЧЧЧ. Их действительно 7.
Схема определения вида комбинации:
42
Перестановки
без повторений —
комбинаторные соединения, которые
могут отличаться друг от друга лишь
порядком входящих в них элементов.
формула
для нахождения количества перестановок
без повторений:
Перестановки
с повторениями —
комбинаторные соединения, в которых
среди образующих элементов имеются
одинаковые.В таких соединяниях участвуют
несколько типов объектов, причём имеется
некоторое количество объектов каждого
типа. Поэтому в выборках встречаются
одинаковые.
формула
для нахождения количества перестановок
с повторениями:
56
Правило
суммы. Если
некоторый объект 
может
быть выбран из совокупности
объектов 
способами,
а другой объект 
может
быть 
способами,
то выбрать либо
,
либо
можно 
способами.
Правило
произведения. Если
некоторый объект
может
быть выбран из совокупности
объектов
способами
и после каждого такого выбора другой
объект
может
быть выбран
способами,
то пара объектов 
в
указанном порядке может быть
выбрана 
способами.
43
Упорядоченные 
-элементные подмножества множества
из 
элементов
называются размещениями из
элементов
по
.
Различные размещения из
по
отличаются
компонентами либо их порядком. Общее
число размещенийбез
повторений из
элементов
по
обозначаются 
и
равно
Так
как повторение элементов не допускается,
то всегда 
.
Будем считать, что при 
имеем
одно размещение (элементы
вообще не выбираются), т. е. положим 
.
Размещение
элементов
можно представить себе как заполнение
некоторых
позиций
элементами заданного множества. При
этом 1-ю позицию можно заполнить
различными
способами. После того как 1-я позиция
заполнена, элемент для заполнения 2-й
позиции можно выбрать 
способами.
Если этот процесс продолжить, то после
заполнения позиций с 1-й по 
-ю
будет иметься 
способов
заполнения последней
-й
позиции. Перемножая эти цифры, мы получаем
формулу.
В
частном случае, когда 
,
имеем
Пример.
Пусть дано множество из четырех
элементов 
.
Какие различные размещения по два
элемента можно составить и сколько их,
т. е. 
?
Количество размещений 
.
Множество размещений 
.
Задача. Студенту необходимо сдать 4 экзамена за 8 дней. Сколькими способами можно это сделать, если в один день сдавать не более одного экзамена?
Искомое число способов равно числу четырехэлементных упорядоченных подмножеств (дни сдачи экзаменов) множества из 8 элементов:
