Декартова (прямокутна) система координат

З твердження 2 випливає, що три не компланарних вектора , , утворюють у просторі базис, тобто будь-який інший вектор може бути однозначно представлений лінійною їх комбінацією: + + . При цьому встановлюється взаємооднозначна відповідність між векторами простору і трійками дійсних чисел ( ), які називаються координатами вектора.

Трійка некомпланарних векторів , , зведена до спільного початку О утворює систему координат у просторі, яка називається афіною.

На практиці найбільш уживаним є ортонормований базис, який складається з трьох взаємно перпендикулярних векторів одиничної довжини. При цьому розрізняють праві і ліві трійки векторів.

Означення 15. Трійка векторів називається правою (лівою), якщо з кінця вектора найкоротший поворот від вектора до вектора спостерігається проти (за) годинниковою стрілки (рис. 3.1.11, а).

З

Рис. 3.1.12

гідно з цим означенням розрізняють праві і ліві координатні системи. У подальшому будемо вважати, що базисні вектори координатної системи утворюють праву трійку векторів.

Декартова (прямокутна) система координат у просторі (рис. 3.1.12) являє собою три взаємно перпендикулярні прямі Ох, Оy, Oz, які називаються координатними осями, з заданим на кожній з них додатнім напрямком, початком координат (точка перетину осей) і одиничним відрізком (масштабом).

Вісь називається віссю абсцис, вісь – віссю ординат, а вісь – віссю аплікат.

Одиничні вектори координатних осей позначаються відповідно: , ( ). Оскільки вони є не компланарними, кожний вектор простору може бути представлений у вигляді:

= + +

, який називається розкладом вектора за координатними ортами.

З рис. 3.1.12 видно, що якщо провести через точку М площини, паралельні координатним площинам , , , то одержимо точки перетину з координатними осями С, В, А, причому за правилом паралелепіпеда матимемо:

.

Оскільки розклад вектора за базисом є однозначним, матимемо, що

Це означає, що координатами вектора у просторі є його проекції на координатні осі.

З властивостей проекції вектора на вісь одержимо аналогічні властивості для векторів, заданих координатами:

1. Два вектори рівні тоді і тільки тоді, коли їх відповідні координати рівні: = , .

2. Координати вектора , який дорівнює сумі двох векторів , і , дорівнюють сумі відповідних координат цих векторів:

, , .

3. Координати вектора , який дорівнює добутку вектора на число λ, дорівнюють координатам вектора помноженим на це число:

λ λ , λ , λ .

За означенням проекції вектора на вісь матимемо:

Косинуси кутів, які утворює вектор з осями координат, називаються напрямними косинусами вектора.

Вектор, проведений з початку координат О до точки простору М, називається радіус-вектором точки М.

Координатами точки М називається упорядкована трійка чисел (x, y, z), які є координатами радіус-вектора точки М.

Вектор (рис. 3.1.12) є діагоналлю прямокутного паралелепіпеда, тому його довжина дорівнює: . (3.1.13)

Для напрямних косинусів вектора матимемо формули:

, , , причому (3.1.4)

Я

Рис. 3.1.13

кщо вектор має задані початкову А( ) і кінцеву В( ) точки у просторі (рис.3.1.13), то його координати визначаються з наступних міркувань. Проведемо з початку координат О у точки А і В радіус вектора . Тоді за правилом трикутника матимемо: . Звідки , або у координатній формі:

.

Звідси для довжини вектора

=

(3.1.5)

Таким чином, кожній точці простору ставиться у відповідність трійка дійсних чисел, які є проекціями радіус-вектора точки на координатні осі. Справедливим є і обернене твердження: кожній трійці дійсних чисел (x, y, z) відповідає одна точка простору з такими координатами.

Прямокутна система координат на площині є частинним випадком тривимірної системи координат. Тому стисло наведемо основні положення і формули.

Твердження 7. Якщо будь-які два вектори на площині і неколінеарні, то вони утворюють базис на цій площині, і тоді будь-який вектор площини є лінійною комбінацією цих векторів: + .

Числа називаються координатами вектора в базисі , , що скорочено записується так: .

На практиці найбільш уживаним є ортонормований базис, який складається з взаємно перпендикулярних векторів одиничної довжини, які мають позначення

, )

, причому , . Тоді на основі т

вердження 6, вектор можна з

аписати у в

игляді , де - декартові ( прямокутні) координати вектора (рис. 3

.1.14), які є його п

роекціями на координатні о

сі. Координатами точки М називаються координати радіус-вектора проведеного з

Рис. 3.1.14

початку координат у точку М.

З прямокутного трикутника ОМА визначаємо напрямні косинуси:

,

=

(3.1.6)

І модуль вектора

(3.1.7)

Таким чином вектор у просторі можна задати:

1. Зображенням вектора в просторі як напрямного відрізка (рис. 3.1.15, в).

2. За допомогою координат: (рис. 3.1.15, б).

3. За допомогою модуля і орта : .

4. За допомогою модулів і напрямних косинусів:

(рис. 3.1.15, а).

z

z

z

y

y

y

х

х

х

Рис. 3.1.15