Проекція вектора на вісь

Означення 12. Основа перпендикуляра Р , опущеного з точки Р на вісь l, називається проекцією точки Р на вісь l (рис. 3.1.8, а).

Для знаходження проекції точки Р на вісь l необхідно через цю точку провести площину, перпендикулярну до l, і визначити точку перетину площини і осі.

б)

Рис. 3.1.8

Означення 13. Проекцією вектора на вісь l називається число , якщо напрямки і l співпадають, , якщо напрямки і l протилежні, - проекції точок А і В.

Проекція вектора на вісь l дорівнює добутку модуля вектора на косинус кута між вектором і віссю: .

Д

ійсно, якщо 0≤𝜑< , то це очевидно з прямокутного трикутника АВ (рис. 3.1.9). Якщо ж , тобто вектор i l мають протилежні напрямки, то .

П

ри .

Властивості проекцій

1. Проекція вектора на вісь додатна, якщо кут між віссю і вектором гострий, від’ємна, якщо кут тупий і дорівнює нулю, якщо кут прямий.

Властивість випливає з формули проекції.

2. Проекції рівних векторів на одну вісь рівні:

В

ластивість випливає з формули проекції.

3. П

   роекція суми декількох векторів на одну вісь дорівнює сумі проекцій векторів на цю вісь:

Н

ехай . Тоді з рис. 3.1.10 знаходимо, що , , . З іншого боку, маємо:

+ ⇨ .

4. Проекція добутку вектора на число дорівнює добутку проекції вектора на це число:

Дійсно, при λ>0

=λ

А при λ<0

= .

Лінійна залежність векторів

Означення 14. Вектори , називаються лінійно залежними, якщо їх лінійна комбінація (3.1.1) дорівнює нулю принаймні хоча б при одному значенні , тобто +…+ = . (3.1.2)

У протилежному випадку вектори , називаються лінійно незалежними, тобто співвідношення (3.1.2) виконується тільки при =0.

Зауважимо, що якщо серед n векторів є один рівний , то вони лінійно залежні, оскільки тоді завжди знайдеться при нуль-векторі таке, що виконується (3.1.2).

Твердження 3. Якщо із n векторів k векторів (1<k≤n-1) лінійно залежні, то всі n векторів лінійно залежні.

Очевидно, що лінійна залежність k векторів означає дотримання рівності +…+ = при хоча б одному Звідси маємо: +…+ = що доводить лінійну залежність n векторів.

Твердження 4. Необхідною і достатньою умовою лінійної залежності двох векторів i є їх колінеарність.

Колінеарність векторів i рівносильна дотриманню співвідношення , з якого випливає лінійна залежність: =0. Навпаки, якщо i залежні, то виконується (3.1.2), тобто, + = Звідси маємо колінеарність: = , або = , .

Твердження 5. Необхідною і достатньою умовою лінійної залежності трьох векторів є їх компланарність.

Компланарність векторів рівносильна дотриманню для одного з них, наприклад співвідношення: , ( ), що і означає лінійну залежність (-1) =0.

І навпаки, лінійна залежність векторів , тобто співвідношення (3.1.2), дозволяє виразити один з векторів через інші, що є рівносильним їх компланарності.

Твердження 6. Будь-які чотири вектори лінійно залежні.

Дійсно, якщо будь-які три вектори із чотирьох векторів компланарні, то вони є водночас і лінійно залежними (твердження 5). А це, в свою чергу, означає (твердження 3), що всі чотири вектори лінійно залежні. Тому доцільно припустити, що будь-які три вектори з чотирьох не компланарні. Нехай, наприклад, вектори некомпланарні. Тоді згідно з твердженням 2 вектор може бути представлений у вигляді суми векторів: = , де - деякі дійсні числа (твердження 2), звідки і випливає лінійна залежність даних чотирьох векторів: +(-1) =0 (рис. 3.1.7).

а) ( ) – права трійка, б) ( ), ( ), ( ) – праві трійки,

) – ліва трійка ), ( ), ( ) – ліві трійки.

Рис. 3.1.11