§3.1. Вектори на площині і в просторі Означення і позначення векторів
Векторна величина, на відміну від скалярної (температура, об'єм, маса), характеризується не тільки числовим значенням, а й напрямом (швидкість, прискорення, сила).
Означення
1.
Вектором називається напрямлений
відрізок прямої. Вектори мають
позначення:
|
(точка А – початок вектора, В – його
кінець, рис. 3.1.1, а)
В
А
Рис. 3.1.1
Означення
2.
Довжина вектора
називається його модулем і позначається:
|
або
Означення
3.
Вектори називаються рівними, якщо
вони однаково напрямлені і мають
однакову довжину:
|
,
=
(рис.
3.1.1, б).Це означає, що різні вектори не розрізнюються за місцем розміщення у просторі і паралельне перенесення вектора в іншу точку простору не призводить до зміни вектора. Такі вектори називаються рівними.
Означення
4.
Вектор
називається нульовим вектором ( |
),
якщо його початок і кінець співпадають.Напрям цього вектора невизначений, а його довжина дорівнює нулю.
Означення
5.
Ортом вектора
називається вектор
|
одиничної довжини, напрям якого
співпадає з напрямом вектора
.
Коленіарність і компланарність векторів
Означення 6. Вектори, що знаходяться на одній прямій або на паралельних прямих, називаються колінеарними (рис. 3.1.2, а, б). |
•
•
•
•
•
Рис. 3.1.2
Колінеарні
вектори позначаються двома паралельними
стрілками:
,
якщо напрямки співпадають;
,
якщо напрямки протилежні, або -
||
,
якщо напрямки невідомі.
Рис. 3.1.3
Означення 7. Вектори, що паралельні одній площині або лежать на одній площині, називаються компланарними (рис. 3.1.3). |
Лінійні операції над векторами
До лінійних операцій над векторами відносяться: додавання (віднімання) векторів і множення вектора на число.
+
,
= + + ,
=
+
+
=
+
,
=
-
Рис. 3.1.4
Означення
8.
Сумою векторів
i
називається
вектор
|
=
+
,
який з’єднує
початок вектора
з кінцем вектора
,
за умови, що початок вектора
і кінець вектора
співпадають (правило трикутника, рис.
3.1.1, в).О
Рис. 3.1.5
(рис. 3.1.4, а) є вектор
початок якого співпадає з початком
вектора
а кінець – з кінцем вектора
(правило багатокутника, рис. 3.1.4, б).
У
випадку, коли вектори
не
належать одній площині, вектор
являє собою діагональ паралелепіпеда,
побудованого на векторах
(рис. 3.1.5).
Відмітимо деякі правила додавання векторів:
-
переставний закон;
– сполучний
закон;Для кожного вектора існує протилежний вектор (- ) такий, що
;
.
Означення 9. Різницею векторів i називається вектор - , який в сумі з вектором дає вектор . Інакше кажучи, це вектор, який з’єднує кінець вектора з кінцем вектора , за умови, що i мають спільний початок (рис. 3.1.1, д). |
Операціям додавання і віднімання двох векторів i можна надати наступну геометричну інтерпретацію: в паралелограмі, побудованому на векторах i , одна діагональ є сумою векторів i , а інша діагональ – їх різницею (рис. 3.1.4, в).
Означення
10.
Добутком вектора
на число λ називається вектор λ
,
колінеарний вектору
,
який має модуль, що дорівнює
|
,
і напрям, однаковий з вектором
(λ>0),
або протилежний вектору
(λ<0).
П
Р
Рис. 3.1.6
Вектори, які лежать на медіанах трикутника,
можна виразити наступним чином:
Додавши ці співвідношення, одержимо:
Але точка О, ділить медіани трикутника у відношенні 2:1 і тому матимемо наступне очевидне співвідношення:
=
(
)=
-
.•
Твердження
1.
Ненульові вектори
|
колінеарні тоді і тільки тоді, коли
виконується співвідношення:
,
де λ≠0 – деяке дійсне число.
Дійсно,
якщо вектори
колінеарні, то вони розміщені на одній
прямій або на двох паралельних прямих.
З означення рівності двох векторів
випливає, що
при λ=
,
якщо
одного напрямку, або при λ= -
у протилежному випадку.
Навпаки, якщо , то з означення операції множення вектора на число слідує, що вектори коленіарні.
Наслідок.
Вектор
і
його орт
задовольняють співвідношенню:
= |
або
Означення
11.
Лінійною комбінацією векторів
де
|
є вектор
,
який можна подати, як суму наступних
векторів:
(3.1.1)
– довільні
дійсні числа.
Твердження
2.
Будь-який вектор
у просторі
можна представити, причому єдиним
способом, у вигляді лінійної комбінації
трьох не компланарних векторів
|
.
Дійсно,
якщо вектор
колінеарний одному з векторів
наприклад,
,
то з твердження 1
.
Звідси
.
Якщо
ж
компланарний
будь-якій парі векторів, наприклад,
то за правилом паралелограма його можна
представити у вигляді:
де
,
||
.
Звідси
маємо
.
У
випадку, коли вектор
некомпланарний жодній парі векторів
(рис. 3.1.7), його можна представити за
правилом паралелепіпеда у вигляді
,
де
,
,
.
Звідси
маємо
.
Д
Рис. 3.1.7
і
.
Віднімаючи від першої рівності другу,
одержимо співвідношення:
=
.
Якщо
хоча б одна з різниць
,
,
не дорівнюватиме нулю, наприклад
,
то
,
що означає компланарність векторів
.
Одержали протиріччя. Отже, представлення
однозначне.
Числа
λ, µ, 𝛾
називаються координатами вектора
в базисі
, |
,
що скорочено записується так:
(λ,µ,𝛾).