2. Элементы линейной теории лбв

Вводные замечания. Точный анализ процессов в ЛБВ весьма труден. Воздействие поля на электронный поток и обратное воздействие электронного потока на поле ЗС приводят к тому, что все три компонента - электронный поток, замедляющая система и высокочастотное поле, бегущее по ней, изменяют свои характеристики.

Действительно, электроны в потоке испытывают модуляцию скорости за счет продольной составляющей электрического поля ЗС. Глубина модуляции нарастает вместе с усилением поля в направлении к коллекто­ру ЛБВ. Модуляция скорости электронов приводит к образованию сгуст­ков – группировке. В токе прибора появляется составляющая на часто­те входного сигнала, нелинейно зависящая от СВЧ поля ЗС. Образовав­шиеся сгустки отдают часть энергии высокочастотному полю по всей длине пространства взаимодействия. Основной вклад дает обмен в выходной части ЗС, где группировка потока и амплитуда волны в ЗС наи­большие. Средняя скорость сгустков электронов несколько уменьшается по сравнению с V_о.

Замедляющая система "ощущает" взаимодействие с потоком как вносимую с его стороны комплексную проводимость, которая приводит к изменению погонных эквивалентных параметров ЗС, Вносимая проводи­мость зависит от степени группировки потока (амплитуды конвекцион­ного тока) и амплитуды СВЧ поля, наведенного в ЗС потоком, и, сле­довательно, изменяется в направлении к выходу ЗС. Поэтому эквива­лентные параметры ЗС и ее дисперсионная характеристика изменяются по мере продвижения от входа ЗС к выходу. В результате фазовая ско­рость волны, бегущей по ЗС, не равна (V_) _о для "холодной" систе­мы (не взаимодействующей с потоком) и изменяется вдоль ЗС.

Электромагнитная волна усиливаемого сигнала, бегущая вдоль ЗС, по мере продвижения к выходу нарастает и изменяет свою фазовую ско­рость в соответствии с изменениями параметров ЗС. Очевидно, что ана­лиз работы ЛБВ при произвольных входных сигналах труден. Значитель­ное упрощение получается при использовании допущения о малости вход­ного сигнала, т.е. линейной теории ЛБВ.

Основные допущения. Будем рассматривать в кинематическом прибли­жении слабое взаимодействие односкоростного одномерного потока элек­тронов с продольной составляющей СВЧ электрического поля однородной ЗС без потерь.

Это означает следующее:

1. При анализе пренебрегают электростатическим взаимодействием между электронами (кинематическое приближение),

2. Скорость всех электронов на входе в ЗС полагают равной V_o (односкоростной поток),

3. При взаимодействии с полем ЗС происходят малые возмущения параметров потока, так что

V = V_o + V_~ ; j_k = j_c + j_~ ;  = _o + _~

где V_o, j_c, _o - постоянные составляющие скорости электронов, плотности тока и объемного заряда соответственно, не зависящие от времени и координат; V _~ << V_o, j_~ << j_c и _~ << _o - переменные со­ставляющие скорости, плотности тока и объемного заряда, в равной степени малые по сравнению с соответствующими средними. Малость пе­ременных составляющих означает, что в дальнейшем можно использовать линеаризацию уравнений, т.е. пренебрегать произведениями вида  _~ V_~ по сравнению с членами вида _oV _~ и V_o j_~ . В такой системе от­сутствует преобразование частоты. Если воздействующее на поток поле изменяется во времени по закону cost, то все параметры элек­тронного потока будут изменяться во времени по тому же закону.

4 . Переменные составляющие параметров потока не зависят от по­перечных координат, а только от продольной координаты (одномерный поток). В одномерном потоке полный конвекционный ток i_k= Sj_k = I_o+ i_~ , где I_o = Sj_o, I = Sj , а S-площадь поперечного сече­ния потока.

5. Замедляющая система ЛБВ представляет собой линию передачи без потерь, связанную с электронным потоком. Поля в ЗС описываются уравнениями Максвелла. В однородных (непериодических) ЗС, например, в диэлектрических стержнях или волноводах, заполненных диэлектриком, поле представляет единственную бегущую прямую волну. В неоднородных (периодических) ЗС поля имеют вид стоячих волн, представляемых бес­конечными суммами пространственных гармоник (ПГ).

Строго говоря, все используемые в приборах СВЧ замедляющие си­стемы являются периодическими, т.е. неоднородными. Однако в спираль­ных ЗС с малым шагом h << _с (рис.2) набег фазы волны на шаг спи­рали мал, и по распределению поля они близки однородным. В таких -квазиоднородных ЗС распределение СВЧ потенциала u (z,t) вдоль оси можно считать синусоидальным, так что высшие ПГ отсутствуют. В комплексной форме

u (z,t) = U exp [j(t - z)] . (3)

Продольная составляющая напряженности электрического поля, бегущего в такой системе,

e_z (z,t) = - u(z,t) / z = jUexp [j(t - z] = E_z exp [jt] , (4)

где

Ė_z = jUexp[-jz] = jŮ = E_z exp [-j(z-/2)] (5)

- комплексная амплитуда.

Комплексная форма записи в (3), (4) предполагает, что действи­тельная функция времени  (z,t) равняется вещественной частb ком­плексной (z,t) :  (z,t) = Re { (z,t) }.

Учитывая сказанное выше, все переменные составляющие парамет­ров потока будут иметь вид

(6)

где , и - комплексные амплитуды, аналогичные .

6. Вход и выход ЗС идеально согласованы.

7. В ходе группировки электроны не обгоняют друг друга; потери электронов из-за оседания на ЗС отсутствуют.

Сделанные допущения упрощают анализ, но не дают возможности решить задачу "в лоб". Обычно ее решают в три этапа. Сначала нахо­дят поле в ЗС, возбуждаемой электронным потоком с известной пере­менной составляющей (приближение заданного тока). Затем рассчитыва­ют переменную составляющую тока при возмущении электронного потока полем ЗС заданного вида (приближение заданного поля). Наконец, полученные уравнения решают совместно для получения самосогласованно­го решения, учитывающего одновременно воздействие тока на поле ЗС и поля ЗС на ток. Это решение в приближении малого сигнала и в прене­брежении силами объемного заряда определяет вид поля в ЗС в присутствии электронного потока.

Приближение заданного тока. Замедляющую систему представим ли­нией передачи без потерь с сосредоточенными погонными "холодными" параметрами jX и jB в Т-образной ячейке (рис.4). Введем посто­янную распространения в "холодной" системе

и сопротивление связи . (7) (8)

Вообще говоря, сопротивление связи зависит от номера ПГ, для которой оно вычислено. Для однородных и квазиоднородных ЗС с распределением СВЧ потенциалов типа (3) где W- волновое сопротивление линии.

Рис.4

Связь линии с потоком осуществляется с помощью идеальных сеток, сквозь которые без потерь проходит электронный поток с пере­менной составляющей i_ (6). На сетках наводится ток i_н возбуж­дающий в ЗС напряжение u и ток i . По закону Кирхгофа для узла А . Отсюда

(9)

Падение напряжения на участке ЗС

, т.е.

(10)

Комплексная амплитуда наведенного тока

,

где - угол пролета электронов в зазоре шириной dz между идеальными сетками, а - комплексная амплиту­да конвекционного тока. Так как dz 0, то 0 и М₁ 1, а наведенный ток совпадает по виду с конвекционным:

I_H (z) = I_H (z,t) = I₁exp [j(t - z] = exp [jt] (11)

Напряжение и ток, возникающие в линии под действием конвекционного тока, будем искать в форме, соответствующей конвекционному току:

u (z) = u (z,t) = Uexp [j(t - z] = exp [jt]

i (z) = i (z,t) = Iexp [j(t - z] = exp [jt] (12)

Подставив (11) и (12) в (9) и (10), получим алгебраические уравнения для комплексных амплитуд:

;

Исключив из них и воспользовавшись выражениями (7) и (8), полу­чим

От напряжения в линии перейдем к напряженности поля (5). Тогда

(13)

- решение задачи о взаимодействии электронного потока с замедляющей системой в приближении заданного тока.

Приближение заданного поля. При этом ищется связь комплексных амплитуд конвекционного тока в одномерном электронном потоке и по­ля, распространяющегося в замедляющей системе со скоростью, близкой средней скорости потока. Вид поля, воздействующего на электроны по­тока, считается известным: это прямая бегущая волна (4).

Для описания электронного потока воспользуемся уравнениями движения, плотности тока и непрерывности потока. В одномерном при­ближении они имеют вид

(14)

где V , i_k ,  - соответственно скорость электронов, плотность конвекционного тока и плотность объемного заряда, описанные в (2) и (6).

В уравнение движения в (14) не вошла сила Лоренца. Дело в том, что для нерелятивистских электронов воздействие магнитной составля­ющей электромагнитного поля волны в с/v_o раз меньше, чем кулоновcкое. С другой стороны, в одномерном потоке скорость электронов и магнитное фокусирующее поле параллельны, так что эта составляющая силы Лоренца равна нулю,

Представим dv/dt в виде

(15)

Воспользовавшись (2) и (15), перепишем (14):

(16)

Проведем линеаризацию уравнений (16), отбросив V; V  V/ z как величины более высокого порядка малости.

П одставив (6) в (16), получим уравнения для комплексных ампли­туд:

(17а)

(17б)

(17в)

С помощью (17а) и (17в) исключим из (176) и и полу­чим

где

Отметим, что - плотность постоянной составляющей электронного тока, a , где U_c - ускоряющий потен­циал электронного потока. Тогда

От плотностей токов в одномерном потоке перейдем к полным то­кам. Учитывая, что - комплексная амплитуда конвекционно­го тока, a - абсолютное значение постоянной составля­ющей тока луча, получим

(18)

- решение задачи взаимодействия в приближении заданного поля.

Самосогласованное решение. В реальной системе воздействие поля линии на электронный поток и потока на поле одновременно. Описание такого процесса взаимного влияния дает совместное решение уравнений (13) и (18)

(19)

Это алгебраическое уравнение определяет - постоянную распространения волны в ЗС, связанной с электронным потоком, и поэтому называется дисперсионным.

Дисперсионное уравнение (19) является уравнением 4-й степени относительно . Четырем его корням соответствуют по четыре волны поля, тока, скорости электронов и плотности объемного заряда, одновременно распространяющиеся в ЗС и электронном потоке. Из всех возможных наибольший интерес представляют волны, эффективно взаимодействующие с электронным потоком, т.е.синхронные с ним. Положим, что на входе 3С фазовая скорость волны в "холодной" ЗС

т.е. При этом (19) примет вид:

(19а)

Уравнения четвертой степени, как известно, в общем случае на решаются, поэтому сделаем некоторые допущения. Очевидно, что если связь потока и ЗС отсутствует (R_c=0), то как следует из (19а), в линии распространяются только волны с фазовая скорость которых определяется параметрами "холодной" ЗС.

Полагая связь ЗС и электронного потока малой (R_c мало) и малым ток пучка i₀, будем искать решение уравнения (19а) в виде

(20)

где (21)

Подставим (20) в (19а) и, используя (21), получим приближенное дисперсионное уравнение

(22)

(23) - параметр усиления. Для большинства ЛБВ он имеет величину (0,02-0,2)

Анализ дисперсионного уранения. Парциальные волны. Решения приближенного уравнения (22) имеют вид

Таким образом

(24)

Как видно, уравнение (22) совместно с (20) определяет значение трех постоянных распространения, комплексных в общем случае. Таким образом, в рамках сделанных допущений, любой волновой процесс в системе ЗС – электронный поток в ЛБВ должен быть представлен суммой трех так называемых парциальных волн, например

(25)

где Re _n и Im - соответственно вещественная и мнимая части _n.

Амплитуды парциальных волн E_zn и I_1n (n=13) определяют из условий в начале линии (при z=0). Можно показать, что поле входного сигнала, подлежащего усилению, практически поровну делиться между парциальными волнами:

E_z1(o) = E_z2(o) = E_z3(o) = [E_z(o)]/3 (26)

где E_z(o) – амплитуда продольной составляющей поля сигнала на входе в ЗС.

Кратко обсудим свойства парциальных волн,

Так как Re _ > 0 то волны распространяются вдоль оси ЗС в сторону увеличения координаты, т.е. в направлении движения электронного потока.

Амплитуда первой волны неизменна (I_m_=0). Физически эта волна соответствует реактивному воздействию потока на ЗС, в ре­зультате которого меняются ее погонные индуктивность и емкость.

Вторая волна экспоненциально затухает по мере продвижения вдоль оси ЗС (I_m_<0), а третья - нарастает:

(27)

где и - амплитуды третьей парциальной волны на входе в ЗС (z=0) и на расстоянии z от входа.

На некотором удалении от на­чала ЗС можно считать, что про­дольная составляющая поля спирали полностью определяется полем третьей (нарастающей) волны (рис.5):

E_z (ZZ_o) E_z3 (ZZ_o)

Рис.5