5.2.3 Пространственные гармоники

При распространении электромагнитной волны в замедляющей системе, пространственный период которой соизмерим с длиной замедленной волны , законы распределения потенциала и электрического поля уже нельзя считать чисто синусоидальными. Следует ожи­дать, что пространственный период замедляющей системы должен на­ложить некоторый отпечаток на конфигурацию поля волны. В случае спирали таким пространственным периодом является ее шаг, в случае гребенки — расстояние между соседними зубьями

Так, рассматривая распределение потенциала вдоль оси гребенки (рис. 11), можно с достаточной степенью точности пола­гать, что весь градиент потенциала оказывается сосредоточенным в щелях. Поэтому зависимость (рис.11,в) приобре­тает вид ступенчатой кривой, которая лишь отдаленно напоминает синусоиду. Чем меньше период структуры замедляющей системы, тем ближе эта кривая к синусоиде.

Рис.11

В однородных замедляющих системах, у которых этой ступенчатостью можно пренебречь. Но в неод­нородных замедляющих системах, где приходится учитывать несинусоидальность распределения поля, так как она способна приво­дить к появлению ряда новых специфических эффектов при взаимо­действии волны с электронным потоком.

Количественно степень воздействия электрического поля замед­ляющей системы на электрон может быть определена через некоторую функцию воздействия (см. рис.11,б).

Чтобы подсчитать реальное поле, действующее на электрон, следует умножить поле бегущей электромагнитной волны, которая распространяется вдоль замедляющей системы, на функцию воздействия :

(9)

Зависимость является периодической функцией, период кото­рой равен шагу зубьев гребенки:

где может принимать все значения целых чисел как положительных, так и отрицательных. Поэтому функция А может быть разложена в ряд Фурье:

Подставив это значение А в выражение (9), получим

Здесь действующее на электрон электрическое поле можно представить как сумму пространственных гармоник, имеющих одинаковую частоту и отличающихся коэффициентами распространения

где — коэффициент распространения исходной основной волны; — амплитуда гармоник. Каждой гармонике будет соответствовать своя фазовая скорость

. (10)

Но групповая скорость всех гармоник одинакова и равна групповой скорости исходной волны

Для положительных значений k фазовая скорость монотонно убывает с увеличением номера гармоники. Это позволяет прийти к заключению, что в данной замедляющей системе синхронизм может быть достигнут не только при скорости электронов, равной фазовой скорости основной волны , но и при ряде других скоростей , меньших и соответствующих высшим пространственным гармоникам. Следует отметить, что взаимодействие электронов с одной из пространственных гармоник приводит к изменению как амплитуды гармоники , так и амплитуды всей волны, поскольку .

Таким образом, представление сложного поля замедляющей системы в виде суммы пространственных гармоник позволяет при анализе работы электронных приборов рассматривать взаимодействие электрона с одной синусоидальной волной, что значительно упрощает анализ.